§3. Методика расчета точности проекта геодезической сети. Критерии точности положения определяемого пункта.

Согласно инструкции по межеванию земель различают следующие критерии:

1. ср. кв. ошибка взаимного положения пунктов ОМС.

2. ср. кв. ошибка положения определяемого пункта относительно исходного. В данном случае под определяемым понимается межевой знак ,а исходным считается , например пункт ОМС.

Выведем критерий точности положения определяемых пунктов.

Пусть даны два пункта 1 и 2. Корреляционная матрица корд. этих пунктов равна:

Q_х1х1 Q_х2у1 Q_х1х2 Q_х1у2

К = σ² Q_у1х1 Q_у1у1 Q_у1х1 Q_у1у2

Q_х2х2 Q_х2у1 Q_х2х2 Q_х2у2

Q_у2х1 Q_у2у1 Q_у2х2 Q_у2у2

Корреляционная матрица определяет положение пунктов 1 и 2, относительно исходных, поэтому критериями положения пунктов будут стандарты этих пунктов: σ²₁ σ² (Q_х1х1 + Q_у1у1), σ²₁ σ² (Q_х2х2 + Q_у2у2)

Взаимное положение пунктов можно представить след. векторами: ∆х = х2 – х1, ∆у = у2 – у2; или

А = ∆ =

х =

∆ - вектор взаимного положения пунктов.

Найдем кореляц. матрицу этого вектора

К∆ = АКА^т, найдем произведение АК:

АК = ·К = σ² *

∆КА^т = ∆К =

= σ² *

В этих выражениях Q_х1х2 = Q_х2х1 = 0, Q_у2у1 = Q_у1у2 = 0

Выведенная матрица взаимного положения пунктов. Но она не удобная, для простоты взаимное положение выражают одним числом, для этого можно найти сумму диагональных элементов этой матрицы, для простоты можно принять недиагональные = 0 и обратить обратно весовые коэффициенты выражающие корреляцию между величинами. Тогда в упрощенном выражении:

К∆ = АКА^т = σ² *

Q_х1х1 – это обратный вес положения точки 1 по оси х; Q_х2х2 – это обратный вес положения точки 2 по оси х; Q_у1у1 – это обр. вес положения точки 1 по оси у; Q_у2у2 – обр. вес положение точки 2 по оси у.

Однако, в инструкции взаимное положение точек дано одним числом. Здесь сумма диагональных элементов выражается одним числом и тогда можно записать, что σ_∆ = σ²(Q_х1х1+Q_ч2ч2+Q_y1y1+Q_y2y2), где σ_∆ - стандарт взаимного положения

, где σ₁ σ₂ – стандарты положения пунктов.

σ_∆ = σ²₁ + σ²₂

Если же σ₁ = σ₂ = σ_t , тогда σ²_∆ = 2σ²_t

Квадрат стандарта взаимного положения = двум квадратам стандарта положения точки. Исходя из этой матрицы можно вывести несколько критерий взаимного положения этих пунктов:

1. σ_∆ = σ_t*√2

2. В качестве взаимного расположения точек может быть определено и расстояние

S = , тогда критерием точности взаимного расположения может рассматриваться стандарт расстояния S. σ²_s = cos²α σ²_x1 + cos²α σ²_x2 + sin²α σ²_y1 + sin²α σ²_y2

Приближенно будем считать, что σ²_t = σ²_х + σ²_у, σ_х = σ_у = σ_t/√2, тогда запишем σ²_s = (σ_t/√2)²+ (σ_t/√2)² = σ²_t

Тогда вторым критерием взаимного положения будет: σ_∆ = σ_s = σ_t.

_{В практических случаях, в том числе и в инструкциях критермй должен быть указан.}

Из теории математической обработки геодезических измерений известно, что точность положения определяемых пунктов геодезической сети определяется корреляционной матрицей – K.

K = σ * N , (31)

Где N обратная матрица нормальных уравнений геодезической сети при уравнивании ее коррелатным способом; σ- стандарт измерения, вес которого принят равным единице.

Известно, что

N = A^т *PA, (32)

Где A – матрица уравнений поправок,

P – матрица весов измерений, обычно диагональная.

Строки матрицы A состоят из коэффициентов уравнений поправок выполненных измерений. Если выполняются лишь линейно-угловые измерения, то составляются уравнения поправок направлений

δ_н = - δz + aδx - bδy - aδx + bδy + _н (33)

и сторон

υ_s = - cos δx - sin αδy + cos αδx + sin αδy + _s (34) между определяемыми пунктами 1 и 2, где δx , δy , δx ,δy - поправки в приближенные значения координат определяемых пунктов, υ_ℓ, υ_s – поправки в направлении и стороны, δ_z – поправка в приближенные значения ориентирующего угла, ℓ_н, ℓ_s – свободные члены уравнения поправок.

На этапе проектирования свободные члены значения не имеют, необходимо знать лишь коэффициенты.

a =

b = (35) и соответственно значения и S с точностью до двух значащих цифр. Они могут быть сняты непосредственно графически с проекта сети или вычислены по координатам точек сети, также сняты с точностью до нескольких метров с проекта.

На этапе проектирования необходимо также задаваться и весовой матрицей ρ или весами проектируемых измерений.

При этом вес измеренного направления ρ_н можно принять равным единице, а веса измерения сторон ρ_s при равноточном измерении установить из соотношения

(36)

где σ_s – стандарта измерения сторон.

Тогда

ρ_s = (37)

В результате проектного расчета необходимо определить σ и σ_s. Эти значения будут зависить от величины ρ_s, которая будет принятой при составлении весовой матрицы ρ.

Полученную в результате обращения матрицу N обозначим через Q и запишем в виде

Q = (38)

Где t – удельное число определенных пунктов. Коэффициент Q называют весомыми. При этом различают диагональные Q и недиагональные весовые коэффициенты.

Точность положения определяемого пункта i определяется дисперсией общего положения

σ = σ² (Q + Q ) (39)

На этапе проектирования из значений Q + Q вычисленных для каждого определяемого пункта находят максимальное Q . Затем руководствуясь инструкцией по межеванию земель или более высокими требованиями по точности положения пунктов опорной межевой сети назначается стандарт положения пунктов геодезической опоры σ_омс . Тогда на основании (39) можно записать

= Q (40)

и

(41)

После того, как найден стандарт измерения направлений из соотношения (37) вычисляется стандарт измерения сторон.

(42)