3. Построение афх по каналу регулирующего воздействия

y

x

W_p

W₀

-1

Далее определяем :

M()=|W(j)| и arg W(j)= (для m=0)

и

M()=|W(m, j)| и arg W(m, j)= (для m=0,221)

По программе 4 (KP4.BAS - далее KP4³ ) путем варьирования частоты  получаем ряд значений модуля и фазы для степеней колебательности m=0 и m=0,221 по которым собственно и строятся АФХ (годографы).

При m=0,221 получаем расширенную АФХ

При m=0 - обычную⁴

4. Настройки регуляторов

Рассматриваемый метод базируется на критерии устойчивости Найквиста, который можно интерпретировать как критерий запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения, если ввести понятие расширенной амплитудно-фазовой характеристики.

Расширенная амплитудно-фазовая характеристика является частным случаем передаточной функции. Для нее оператор p=-mj, где  - круговая частота; m - степень колебательности (постоянная величина для данной расширенной амплитудно-фазовой характеристики, которая является критерием запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы).

arctg m

j

P₃

P₂

P₁=



Подобно тому, как обычная АФХ есть отображение на плоскости передаточной функции мнимой оси плоскости комплексного переменного p , расширенная АФХ есть отображение лучей, исходящих из начала координат, в левой полуплоскости под углом arctg m по отношению к положительной и отрицательной полуосям. Эта характеристика может быть получена из передаточной функции подстановкой p=-mj или определена графоаналитическим методом по обычной АФХ.

Собственно расчет оптимальных настроек регуляторов методом расширенных АФХ:

Амплитудно- фазовый критерий устойчивости как критерий запаса устойчивости по РАФХ можно сформулировать: “Если расширенная АФХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы W_po(m, j) при изменении  от 0 до  проходит через точку с координатами (-1; j0) не охватывая ее на более высоких частотах, то корни характеристического уравнения замкнутой системы будут расположены в левой полуплоскости на лучах -mj и внутри сектора, ограниченного этими лучами”.

Аналитически это условие записывают в виде:

W_po(m, j)= W₀(m, j)W_p(m, j) = -1; (2.1)

Имея в качестве исходных данных математическую модель объекта, из условия (2.1) можно найти параметры регулятора, обеспечивающего работу системы с заданным запасом устойчивости m=m_зад. П-, И-, ПИ-закон регулирования.

Пусть

W_po(m, j)= W₀(m, j) W_p(m, j) (2.2)

где

W₀(m, j)=U+jV (2.3)

-амплитудно-фазовая характеристика объекта по каналу регулирующего воздействия.

-амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора. Подставляя (2.2), (2.3), (2.4) в выражение (2.1), получим:

или

из уравнения (2.6) получим систему двух уравнений с тремя неизвестными , K_p , K_p /Т_и :

(2.7)

Решая систему (2.7) относительно неизвестных (K_p/Т_и) и K_p будем иметь:

АФХ объекта удобно представить в следующей форме:

(2.10)

где А₀(m,) - РАФХ объекта

F₀(m,) - РАЧХ объекта

Из сравнения выражений (2.3) и (2.10) следует, что:

U=A₀(m,) cos F₀(m,)

(2.11)

V= - A₀(m,) sin F₀(m,)

Подставляя эти выражения в формулы (2.8) и (2.9) получим окончательно:

(2.12)

В плоскости параметров настройки ПИ-регулятора (в плоскости с координатами K_p/Т_и , K_p) выражения (2.11) и (2.12) описывают параметрическую кривую, которая вместе с прямой (K_p/Т_и)=0 ограничивает область заданного запаса устойчивости. Эта область является отображением на плоскости параметров настройки K_p/Т_и, K_p сектора в плоскости комплексного переменного p , ограниченного лучами, исходящими из начала координат в левой полуплоскости под углом arctg m. Изменение частоты , а следовательно, и изменение положения точки на кривой, описываемой уравнениями (2.11) и (2.12), соответствует перемещению пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения по лучам p=- m  j.

Настройки лежащие вне области, ограниченной кривой (2.11), (2.12) и прямой (K_p/Т_и)=0, соответствуют корням характеристического уравнения вне сектора, ограниченного лучами p=- m  j , И- и П-регуляторы являются частыми случаями ПИ-регулятора. Настройки их лежат соответственно на оси K_p=0 и (K_p/Т_и)=0.

Для И-регулятора из выражения (2.12) следует, что:

С учетом этого получим:

где ^* - частота, для которой выполняется условие:

Для П-регулятора из выражения (2.11) следует, что:

Sin F₀(m,)=0, т.е.

F₀ (m,)=

С учетом этого из (2.12) получим:

где ^** - частота, для которой выполняется условие:

F(m,^**)= (2.16)

ПИД-регулятор

Для определения параметров настройки ПИД регулятора из условия (2.1), получим формулы следующего вида:

Пространство параметров настройки регуляторов при этом трехмерное. Задаваясь различными значениями параметра K_pT_пр строят в плоскости K_p, K_p/Т_и кривые равной степени колебательности. Определив оптимальные настройки (K_p/Т_и)₀ и (K_p)₀ для каждого значения K_pT_пр, выбирают лучшую из них.

Оптимальные настроечные параметры регуляторов находятся из условия минимума интегрального квадратичного критерия качества:

Согласно которому определяется _р=1,2₀, соответствующая т. А на кривой m=m_зад. П- и И-регуляторы являются частными случаями ПИ-регулятора. Настройку П-регулятора определяют при S₀=0, а настройку И-регулятора - при S₁=0 на кривой m=m_зад.

Оптимальная настройка ПИД регулятора, соответствующая min критерию качества имеет вид:

В соответствии с выше изложенной методикой, по программе KP4 производят расчет настроек регуляторов.

Исходными данными для программы KP4 являются:

Коэффициент передачи (расчетный) K=2,7

Коэффициенты передаточной функции: A₁=3,2445; A₂=4,308778; A₃=3,844847;

Степень колебательности: m=0,221

Результатом работы программы будет задаваемый интервал изменения частоты  с задаваемым шагом дискретизации на основе которых строятся границы области устойчивости и границы области заданного запаса устойчивости по критерию m=0,221. А также соответствующей этой частоте модуль, фаза, настройки S₀, S₁.

По табличным данным приложения 2, строим график зависимости S₀(S₁), по этому графику определяем ₀ соответствующей max S₀, далее определяем _p=1,2₀ и соответствующей этой частоте настройки S₀^опт и S₁^опт - это и будут настройки ПИ-регулятора S₀^опт=0,119805; S₁^опт=0,1971311. Настройки же П-регулятора определяются при S₀=0; S₁=0,304; Настройки И-регулятора при S₁=0; S₀=0,0782;

Для определения настроек ПИД-регулятора, рассчитываем настройку S₂ регулятора из условий:

• 

• 

• 

где

- время изодрома;

- время предварения;

Далее подставив в ту же программу значения S_2x строим зависимость S₀(S₁) и определяем настройки ПИД-регулятора, аналогично тому как мы это делали для ПИ-регулятора.

S01=0,137;	S02=0,167;	S03=0,0943;
S11=0,253;	S12=0,278;	S13=0,1489;
S21=0,20162;	S22=0,2986;	S23=0,2234;

Итак настройки всех регуляторов:

	S0	S1	S2
ПИ	0, 119805	0, 1971311	-
ПИД1	0,137	0,253	0,09344
ПИД2	0,167	0,278	0,1489
ПИД3	0,20162	0,2986	0,2234