2.24 Понятие о применении моделирования на эвм для анализа и синтеза систем автоматического управления

Существует множество видов моделирования. В нашем случае рассматриваются виды моделирования, применяемые для решения технических задач. Соответственно и все понятия даются применительно к этим видам моделирования.

Моделирование  это процесс создания моделей, адекватно отражающих необходимые (в соответствии с поставленной задачей) свойства объектов, и исследование этих моделей с целью поиска эффективных решений для этих объектов.

Исследования проводятся на основе натурных, физических и математических моделей. Соответственно различают натурное, физическое и математическое моделирование.

Натурное моделирование проводится с использованием различных узлов, механизмов, машин, систем и т.п. Примерами натурного моделирования являются различные испытания и исследования, проводимые с экспериментальными или выпускаемыми узлами, механизмами, машинами, а также экспериментальный поиск параметров настройки регуляторов систем и их испытания.

Физическое моделирование проводится с моделями объектов, построенных на принципах физического подобия, например с моделями, имитирующими форму объектов в натуральном или уменьшенном масштабе. В соответствующем масштабе имитируются и воздействия на объект.

Трудоемкость, большая стоимость и зачастую невозможность натурного и физического моделирования некоторых объектов и процессов (например, в экстремальных ситуациях) привело к развитию и широкому использованию методов математического моделирования.

Ограниченные возможности аналитического математического аппарата не позволяют точно исследовать сложные динамические системы автоматического управления. Появление быстродействующих цифровых ЭВМ (ЦЭВМ) позволило использовать давно известные, но не находившие широкого применения из-за большого объема вычислительных работ численные методы интегрирования, дифференцирования и решения дифференциальных уравнений для моделирования систем на ЦЭВМ. Такое моделирование называют цифровым. В настоящее время широкое распространение получили специальные программы для моделирования систем автоматического управления на персональных ЭВМ, позволяющие составлять алгоритмы моделирования из готовых блоков, описывающих звенья систем и воздействия. Инженер-автоматчик может сосредоточиться на решении своей непосредственной задачи  анализе или синтезе системы.

Тем не менее, полезно познакомиться хотя бы с одним простейшим методом численного решения дифференциальных уравнений для понимания принципов составления алгоритмов цифрового моделирования. Для такого знакомства мы выбрали метод Эйлера.

Выбор обусловлен тем, что метод Эйлера прост и нагляден, а многие другие методы являются его развитием. Кроме того, возможность использования при моделировании на современных ПЭВМ малых шагов решения делает этот метод достаточно точным, а составление программ упрощается.

Рассмотрим некоторые аспекты его применения.

Пусть объект описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка:

.

Метод Эйлера состоит в замене производной приближённым разностным отношением:

.

Тогда

.

Зададимся временем начала решения t₀ (обычно t₀ = 0), начальным условием Y(t₀) = Y₀, шагом решения t. Тогда для моментов времени t₁= t₀+t, t₂= t₁ + t, ..., t_k+1 = t_k + t можно найти:

;

;

………………………………………

,

где .

Точность решения дифференциальных уравнений численными методами зависит от выбранного шага t. Для повышения точности моделирования методом Эйлера в n раз требуется уменьшить шаг в n раз.

Из этого следует, что если выбрать шаг решения t и ошибка при этом для момента времени t_k составляет , а затем уменьшить шаг в n раз, то ошибка в момент t_k= t_nk составит:

где и  решения с шагами и ;  точное значение в момент времени .

Поскольку и  это результат моделирования для одного и того же момента времени, то их разность для достаточно больших n приблизительно составит ошибку моделирования с большим шагом:

Очевидно, что если принять n = 10...100, то погрешность можно оценить с достаточной на практике точностью.

Например, если уменьшить шаг в 10 раз, то

Начиная моделирование, выбирают шаг на основании личного опыта, исходя из динамических свойств объекта. Проводят моделирование с выбранным шагом. Затем уменьшают шаг в n раз и проводят моделирование. Разность ординат процессов приблизительно составляет погрешность моделирования. Если погрешность больше, чем это необходимо, то уменьшают шаг решения и снова проводят оценку погрешности.

Если объект описывается уравнением выше первого порядка, то его уравнение необходимо привести к системе уравнений 1-го порядка.

Пусть имеем уравнение n-го порядка:

Обозначим , , ….., .

Тогда исходное уравнение запишется в виде системы, состоящей из n уравнений 1-го порядка, которую можно решить методом Эйлера:

Более подробно с различными численными методами можно ознакомиться, например, в литературе [11].

Общий порядок анализа систем путем моделирования на ПЭВМ следующий.

• Разрабатывается математическая модель системы и составляется ее структурная схема.

• Выбираются или разрабатываются модели воздействий.

• Выбирается программное обеспечение для моделирования. Для этого в настоящее время имеется достаточное количество готовых программных средств.

• На основании структурной схемы с использованием готовых цифровых моделей отдельных звеньев, имеющихся в выбранной программе, набирается цифровая модель системы и воздействий.

• Проводится моделирование, в результате которого получают картину поведения системы во времени (например, переходный процесс).

• Проводится анализ поведения системы во времени и делается вывод о качестве управления, обеспечиваемого системой.

Общий порядок синтеза с применением моделирования на ПЭВМ следующий.

• Исходя из общих принципов построения систем автоматического управления разрабатывается функциональная схема системы.

• Система разбивается на неварьируемую и варьируемую части. К неварьируемой части относят те устройства системы, которые заданы и обязательно войдут в состав системы. К таким устройствам обычно относятся объект управления и исполнительные устройства. Варьируемая часть  это та часть системы, структуру и параметры которой необходимо найти в процессе синтеза.

• Исследуются условия функционирования системы, выявляются возмущающие воздействия, формируются требования к системе.

• Разрабатывается математическая модель неварьируемой части и модели воздействий.

• На основании общих принципов построения алгоритмов управления и знания свойств систем с различными алгоритмами управления, например с типовыми законами регулирования, формируются гипотезы о возможности применения этих законов в синтезируемой системе. Гипотезы ранжируются по сложности и цене практической реализации.

• Разрабатывается математическая модель системы в соответствии с выбранной гипотезой и ее структурная схема.

• Путем моделирования на ЭВМ с использованием экспериментальных поисковых методов оптимизации находятся оптимальные параметры алгоритма управления. Оценивается качество полученной системы. Если качество управления отвечает требованиям, предъявляемым к системе, то гипотеза принимается. Если нет  переходят к проверке следующей гипотезы в ряде сформированных гипотез. Таким образом, выбирается наиболее простой и дешевый вариант реализации системы.