§ 63. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Теорема. Расстояние d от точки до прямой, заданной общим уравнением

относительно декартовой прямоугольной системы координат, вычисляется по формуле

. (1)

Доказательство. Пусть - произвольная точка данной прямой. Так как вектор является нормальным к данной прямой (система координат декартова прямоугольная), то (см.рис 114)

d корд. пр

Теорема. Расстояние от точки до плоскости, заданной относительно ДПСК общим уравнением вычисляется по формуле: .

Доказательство. Пусть произвольная точка плоскости. Так как вектор нормален к плоскости , то:

Рассмотрим задачу. Дана плоскость . Найти уравнение плоскости, перпендикулярной данной и проходящей через точки и .

Решение. Проводим плоскость П, проходящую через точку , компланарно двум неколлинеарным векторам: и :

Ответ. .

§ 102. Эллипс и его каноническое уравнение

Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2а, большее, чем расстояние 2с между фокусами.

Пусть М – произвольная точка эллипса, а и - его фокусы. Отрезки и так же, как и длины этих отрезков, называются фокальными радиусами точки М эллипса. В силу данного определения эллипса (см. рис.1)

(1)

Из определения эллипса вытекает следующий способ его вычерчивания. Воткнем в чертежную доску две булавки и накинем на них замкнутую нить, длина которой равна . Натянем нить карандашом и будем передвигать его, держа нить все время натянутой. Карандаш опишет эллипс, так как сумма расстояний от острия М карандаша до точек и , в которые воткнуты булавки, во время движения острия карандаша по бумаге не будет изменяться, оставаясь равной .

Введем на плоскости прямоугольную систему координат, принимая середину отрезка за начало координат, а за ось Ох прямую , ориентированную от точки к точке . В выбранной системе координат фокус будет иметь координаты (с, 0), а фокус - координаты (-с, 0). Обозначая координаты точки М эллипса через х и у, будем иметь

и соотношении (1) принимает вид: ,

или . (2)

Возводя обе части (2) в квадрат, получим

или .

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получим

,

или .

Так как по условию , то . Обозначая через

, (3)

получим

или . (4)

Уравнение

называется каноническим уравнение эллипса.

§ 112. Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2а, меньшее, чем расстояние 2с между фокусами.

Пусть - произвольная точка гиперболы, а и - ее фокусы. Отрезки и так же, как и их длины, называются фокальными радиусами гиперболы. Поэтому

(1)

Введем на плоскости прямоугольную систему координат, принимая середину отрезка за начало координат, а за ось Ох – прямую , ориентированную от точки к точке . В выбранной системе координат фокус имеет координаты , а фокус - координаты . Обозначая координаты точки М гиперболы через х и у, будим иметь

,

и соотношение принимает вид

Преобразуем это уравнение. Раскрываем модуль ,

.

Дважды возводим в квадрат, получим:

Однако, теперь . Обозначая разность через :

, (2)

имеем: ,

или (3)

У равнение называется каноническим уравнением гиперболы.