Оценка обоснованности включения новой объясняющей переменной

Существенность влияния факторов на показатель можно определить с использованием частичного F-критерия.

Рассмотрим две модели в стандартизованном масштабе (напомним, что уравнение модели в стандартизованном масштабе не имеет свободного члена). В первой модели рассматривается влияние на показатель m факторов. Во второй модели рассматривается влияние на показатель (m+1) факторов. Обозначим: – остатки для модели с m факторами; – остатки для модели с (m+1) факторами. Рассчитывается F-статистика следующего вида:

.

Для заданного уровня значимости и степеней свободы , находим табличное значение F-статистики . Если , то с заданной надежностью можно считать, что новый фактор существенно влияет на показатель Y, и его необходимо включить в модель. Следовательно, для моделирования рассматриваемого экономического процесса (явления, объекта) необходимо выбрать вторую модель, в которую включены (m+1) факторов. Если , то с заданной надежностью можно считать, что новый фактор несущественно влияет на показатель Y и для моделирования экономического процесса (явления, объекта) подходит первая модель, в которой m факторов.

Методические рекомендации по выполнению работы

1.Исходные данные заносим в таблицу, аналогичную табл.2.5. При этом следует обратить внимание на то, что варианты исходных данных отличаются не только числовыми значениями, но и разным количеством наблюдений. Число исходных факторов тоже разное – в одних вариантах 2 фактора, в других вариантах – 3 фактора.

Вычисляем средние значения исходных переменных, их дисперсии и среднеквадратические (стандартные) отклонения. Затем входные данные переменных стандартизуем по формулам (2.3).

Обратите также внимание, что в табл.2.5 дополнительно должен быть введен фиктивный фактор , все значения которого равны 1 (это потребуется в дальнейшем).

Таблица 2.5 – Исходные данные в естественном и стандартизованном масштабах, когда рассматривается два исходных фактора

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N
1	Наблюде-ние	Y
2	1		1
3	2		1
4	3		1
5	4		1
6	5		1
7	6		1
8	7		1
9	8		1
10	9		1
11	10		1
12	11		1
13	Сума значений		n
14	Среднее знач.		-			-	-	-				0	0	0
15	Ср.кв. отклон.	-	-	-	-	-	-	-				-	-	-
16	Вектор прогноз. значений факторов	-	1	…	…	-	-	-	-	-	-	-	-	-

2.Находим корреляционную матрицу .

Способ 1.

Элементы , матрицы можно вычислить с помощью встроенной статистической функции КОРРЕЛ пакета MS Excel. Например, при расположении данных как в табл.2.5, значение вычислим, введя формулу: =КОРРЕЛ(L2:L12;M2:M12)

Значение вычислим, введя формулу: =КОРРЕЛ(L2:L12;N2:N12)

Значение вычислим, введя формулу: =КОРРЕЛ(M2:M12;N2:N12)

Способ 2.

Матрицу можно вычислить с помощью инструмента Анализа Данных «Корреляция» пакета MS Excel, выполнив следующие действия:

1. в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Корреляция. Щелкните по кнопке ОК;

2. заполните диалоговое окно Входные данные и Параметры вывода:

• Входной интервал – ссылка на диапазон, содержащий анализируемые данные результативного признака и факторов (в табл.2.5 – это: L2:N12 – сами данные; L1:N12 – данные с названиями столбцов в первой строке). Ссылка должна состоять не менее чем из двух смежных диапазонов данных, данные в которых расположены по строкам или по столбцам;

• Группирование – флажок, который указывает, как расположены данные во входном диапазоне – по столбцам или по строкам;

• Метки в первой строке/Метки в первом столбце – флажок, который указывает, содержит ли первая строка (столбец) входного диапазона название столбцов (строк) или нет. Если входной диапазон не содержит меток, то необходимые заголовки в выходном диапазоне будут созданы автоматически;

• Выходной интервал – достаточно указать ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Поскольку коэффициент корреляции двух наборов данных не зависит от последовательности их обработки, то выходная область занимает только половину предназначенного для нее места (корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали). Ячейки выходного диапазона, имеющие совпадающие координаты строк и столбцов, содержат значение 1, так как каждая строка или столбец во входном диапазоне полностью коррелирует с самим собой;

• Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Щелкните по кнопке ОК.

Корреляционная матрица при установленном флажке Метки в первой строке выглядит следующим образом (пример):

Таблица 2.6 – Пример корреляционной матрицы

	Y*	X1*	X2*
Y*	1
X1*	0,904189	1
X2*	0,479175	0,476585	1

Находим .

Пример.

В табл.2.6 =0,904189, т.е. максимальное указывает на объясняющую переменную , которая теснее всего связана с Y. Тогда методом наименьших квадратов находим оценку параметра модели : выделяем блок пустых ячеек, состоящий из двух столбцов и пяти строк, и вводим формулу

=ЛИНЕЙН(L2:L12;M2:M12;0;1)

Нажимаем клавишу F2, затем – клавиши Ctrl+Shift+Enter. В результате получаем таблицу регрессионной статистики:

0,904189	0
0,135071	#Н/Д
0,817558	0,447981
44,81184	10
8,993134	2,006866

Следовательно, =0,904189.

Вычисляем остатки , где – стандартизованные наблюдаемые значения объясняемой переменной, которые в табл.2.5 расположены в ячейках L2:L12; – прогнозные (расчетные) стандартизованные значения объясняемой переменной, которые необходимо рассчитать по уравнению при наблюдаемых стандартизованных значениях объясняющей переменной . Затем рассчитываем сумму квадратов остатков .

Результаты удобно представить в форме табл.2.7.

Поскольку в табл.2.5 в ячейках L2:N12 содержатся формулы, то при копировании вычисленных по этим формулам стандартизованных значений переменных из табл.2.5 в табл.2.7 необходимо:

• выделить ячейки L2:N12;

• находясь указателем в выделенной зоне нажать правую кнопку мыши и выбрать Копировать;

• переместить указатель в левую верхнюю ячейку месторасположения данных табл.2.7;

• нажать правую кнопку мыши, выбрать Специальная вставка…, в диалоговом окне Вставить установить флажок значения и щелкнуть по кнопке ОК.

Таблица 2.7 – Данные для расчета стандартизованных остатков

…	…	…
…	…	…
…	…	…
∑	-	-	-	-		-	-		-	-

После этого среди тех значений , которые остались, выбираем и в модель вводим следующую объясняющую переменную. Если, например, максимальным окажется , указывающее на объясняющую переменную , то строим эконометрическую модель

.

Методом наименьших квадратов (с помощью встроенной статистической функции ЛИНЕЙН) находим оценки параметров модели , рассчитывает остатки и сумму квадратов остатков .

С учетом того, что в первой модели один фактор , а во вторую модель добавлен только один новый фактор, находим расчетное значение F-статистики:

= .

Для уровня значимости и степеней свободы , по табл.2.8 находим табличное значение F-статистики .

Таблица 2.8 – Таблица F-распределения Фишера ( - степени свободы, )

	1	2	3	4	…
1	161,4	199,5	215,7	224,6	…
2	18,51	19,00	19,16	19,25	…
3	10,13	9,55	9,28	9,10	…
4	7,71	6,94	6,59	6,39	…
5	6,61	5,79	5,41	5,19	…
6	5,99	5,14	4,76	4,53	…
7	5,59	4,74	4,35	4,12	…
8	5,32	4,46	4,07	3,84	…
9	5,12	4,26	3,86	3,63	…
10	4,96	4,10	3,71	3,48	…
11	4,84	3,98	3,59	3,36	…
12	4,75	3,89	3,49	3,26	…
13	4,67	3,81	3,41	3,18	…
14	4,60	3,74	3,34	3,11	…
15	4,54	3,68	3,29	3,06	…
16	4,49	3,63	3,24	3,01	…
17	4,45	3,59	3,20	2,96	…
18	4,41	3,55	3,16	2,93	…
…	…	…	…	…	…

Если , то с заданной надежностью можно считать, что новый фактор несущественно влияет на показатель Y и его необходимо исключить из модели. Тогда рациональным следует считать первый вариант модели: .

Если окажется, что , то с заданной надежностью можно считать, что новый фактор существенно влияет на показатель Y, и его необходимо включить в модель.

При наличии следующего фактора цикл повторяется. При этом в модель включается третий фактор, оцениваются параметры уравнения регрессии с тремя факторами, рассчитываются остатки и сумма квадратов остатков, а при оценке обоснованности включения третьего фактора учитываем, что теперь .

3.Пересчет стандартизованных оценок параметров окончательного варианта построенной модели в естественный масштаб выполняется по формулам (2.6).

Записываем оцененное уравнение регрессии в естественном масштабе.

4.С помощью инструмента Анализ Данных/Регрессия пакета MS Excel выполняется построение и анализ статистического качества линейной эконометрической модели в естественном масштабе, включающей только отобранные ранее пошаговым регрессионным методом наиболее существенные факторы.

В отчете необходимо:

• привести результаты регрессионного анализа, полученные с помощью инструмента Анализа Данных/Регрессия;

• описать содержимое таблиц результатов;

• проанализировать результаты, сравнить их с результатами, полученными ранее (см. п.3).

• привести графики изменения остатков регрессии для каждого включенного в модель фактора.

5.При изучении тенденций развития исследуемого экономического объекта (процесса, явления) множественную линейную модель используют для получения прогнозных значений объясняемой переменной Y от некоторого набора предполагаемых значений отобранных ранее наиболее информативных факторов .

Точечный прогноз показателя Y получим подстановкой прогнозных значений отобранных факторов (см. п.5 последовательности выполнения задания) в полученное уравнение эконометрической модели в естественном масштабе.

6.Поскольку на процесс построения модели существенно влияет объем наблюдений, необходимо использовать не только точечную оценку прогноза , но и найти доверительные интервал для истинного значения прогноза (интервальный прогноз).

С надежностью доверительный интервал для математического ожидания прогноза показателя Y:

,

где

;

- критическое значение t-распределения Стьюдента при n-m-1 степенях свободы и уровне значимости ;

- оценка стандартной ошибки оценивания (приводится в результатах регрессионного анализа, полученных ранее с помощью инструмента Анализа Данных «Регрессия» пакета MS Excel);

- скорректированная оценка дисперсии ошибок модели;

- матрица исходных (наблюдаемых) значений наиболее информативных объясняющих переменных размерности :

.

В этой матрице каждая строка представляет наблюдение вектора значений объясняющих переменных; единица соответствует фиктивной переменной при свободном члене ;

- транспонированная матрица размерности по отношению к матрице Х;

- обратная матрица размерности по отношению к произведению матриц ;

- вектор-столбец прогнозных значений наиболее информативных объясняющих переменных размерности :

;

- матрица размерности , транспонированная к матрице .

Для определения используется встроенная статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы) пакета MS Excel, которая возвращает t-значение распределения Стьюдента как функцию вероятности и числа степеней свободы:

Вероятность - вероятность, соответствующая двустороннему распределению Стьюдента (уровень значимости );

Степени_свободы - число степеней свободы, характеризующее распределение.

Пример. Для определения при числе степеней свободы, равном 7, и уровне значимости =0,05 необходимо ввести формулу =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;7), результат применения которой равняется 2,364623.

В табл.2.9 рассмотрена методика выполнения операций с матрицами с помощью встроенных математических функций пакета MS Excel.

Таблица 2.9 – Примеры формул для выполнения основных операции с матрицами с помощью встроенных математических функций пакета MS Excel

Математическая формула	Строк	Столбцов	Формула в пакете MS Excel (матрица Х расположена в ячейках C2:E12; транспонированная матрица расположена в ячейках C16:E16)
	m+1	n	=ТРАНСП(C2:E12)
	m+1	m+1	=МУМНОЖ(ТРАНСП(C2:E12);C2:E12)
	m+1	m+1	=МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(C2:E12);C2:E12))
	1	m+1	МУМНОЖ(C16:E16; МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(C2:E12);C2:E12)))
	1	1	=МУМНОЖ(МУМНОЖ(C16:E16; МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(C2:E12);C2:E12)));ТРАНСП(C16:E16))

Следовательно, если матрица Х расположена в ячейках C2:E12, а прогнозные значения объясняющих переменных расположены в виде вектора-строки (т.е. представлены транспонированной матрицей ) в ячейках C16:E16, то для вычисления вводим формулу:

=МУМНОЖ(МУМНОЖ(C16:E16; МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(C2:E12);C2:E12)));ТРАНСП(C16:E16))

и нажимаем клавишу F2, затем клавиши Ctrl+Shift+Enter.

7.Экономико-математический анализ характеристик эконометрической модели и выводы по работе формулируются по следующей схеме:

• эконометрическая модель имеет вид: , где …;

• поскольку расчетное значение , то с надежностью ... построенную модель можно считать адекватной наблюдаемым данным и на основе этой модели можно проводить экономический анализ и находить значение прогноза;

• коэффициент детерминации . Это означает, что на … % вариация чистой прибыли зависит от …;

• поскольку для факторов … Р-значение меньше 0.05, то с надежностью … можно считать, что влияние факторов … на показатель Y значительное и их необходимо учитывать в расчетах. В модели не учтено влияние фактора …, т.к. оно не существенно;

• при изменении фактора на единицу и неизменной величине факторов и показатель Y изменится на ... единиц;

• при изменении фактора на единицу и неизменной величине факторов и показатель Y изменится на ... единиц;

• при изменении фактора на единицу и неизменной величине факторов и показатель Y изменится на ... единиц;

• свободный член … отражает средний эффект всех факторов, которые влияют на показатель Y, за исключением явно включенных в модель;

• для прогнозных значений факторов … среднее значение прогноза показателя … с надежностью ... будет находиться в пределах от ... до ...;

• экономическая интерпретация: если в прогнозируемый период основные фонды составят … млн.грн., оборотные фонды – … млн.грн., а стоимость рабочей силы – … млн.грн., то с надежностью … средняя чистая прибыль попадает в интервал … млн.грн.