Краткие теоретические сведения Проблема гетероскедастичности

Одной из основных предпосылок применения обычного МНК является предположение о постоянстве дисперсии случайных величин для всех наблюдений (гомоскедастичность), т.е. предполагается, что для любых наблюдений i и j. Это означает, что как бы ни была велика или мала величина объясняющей переменной Х, разброс остатков регрессии постоянен. Если эта предпосылка не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность (непостоянство дисперсии остатков, т.е. зависимость дисперсии остатков от номера наблюдения).

Гомоскедастичность (постоянство дисперсии остатков, т.е. независимость дисперсии остатков от номера наблюдения) подразумевает, что, несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не должно быть априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую – при других.

Если имеет место гетероскедастичность, то МНК-оценки параметров модели будут несмещенными, состоятельными, не неэффективными: гетероскедастичность приводит к тому, что оценки параметров модели больше не являются оценками с минимальной дисперсией. Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением. Смещенность проявляется вследствие того, что не объясненная уравнением регрессии дисперсия (остаточная дисперсия), которая используется при вычислении оценок дисперсии всех коэффициентов регрессии, не является более несмещенной. Чаще всего оценки дисперсии, и, следовательно, стандартные ошибки оценок параметров, оказываются меньше, чем они должны быть, а, соответственно, t-статистики – больше, чем в реальности. Вследствие этого мы можем отвергнуть нулевую гипотезу, в то время как она должна быть принята, т.е. ошибочно будем считать оценку параметра значимой, тогда как это не так.

Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества регрессии, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели.

На практике гетероскедастичность не так уж и редка и часто возникает тогда, когда исследуемые объекты, статистически неоднородны (сильно отличаются один от другого).

Возможность проверки предположения о наличии гетероскедастичности зависит от природы исходных данных.

Предложено большое количество тестов для обнаружения гетероскедастичности, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного отклонения и величиной объясняющей переменной (или объясняющими переменными). Самым популярным тестом обнаружения гетероскедастичности является параметрический тест Голдфелда-Квандта.

Параметрический тест Голдфелда-Квандта для проверки исходных данных на гетероскедастичность

При проверке по этому тесту предполагается, что:

• стандартное отклонение случайной величины изменяется пропорционально значению одной их объясняющих переменных модели в этом наблюдении, т.е. дисперсия остатков изменяется пропорционально квадрату одной из объясняющих переменных модели: ;

• случайные величины независимы между собой (т.е. не подвержены автокорреляции) и имеют нормальное распределение.

Согласно параметрическому тесту Голдфелда-Квандта выполняются следующие шаги.

Шаг 1. Все n наблюдений выборки упорядочиваются по возрастанию значений объясняющей переменной Х.

Если в модели имеется более одной объясняющей переменной, то наблюдения следует упорядочивать по той из них, которая, как предполагается, связана с . Если трудно сразу определить объясняющую переменную для упорядочивания, то поочередно проводим упорядочивание по каждой объясняющей переменной отдельно и в каждом случае применяем параметрический тест Голдфелда-Квандта.

Шаг 2. Отбрасываются наблюдений, которые находятся в центре упорядоченной выборки. Авторы теста нашли оптимальное соотношение между величинами и n: , причем следует принять такое ближайшее целое значение , которое позволит после отбрасывания средних наблюдений получить две подвыборки одинаковой длины .

Остальные наблюдений делятся на две подвыборки одинакового размера , одна из которых включает малые значения Х, а другая – большие значения Х.

Шаг 3. С помощью обычного МНК оцениваются отдельные регрессии для первых и для последних наблюдений.

Вычисляется сумма квадратов остатков для первой и второй регрессии:

- сумма квадратов остатков регрессии на подвыборке из наблюдений, включающих малые значения Х;

- сумма квадратов остатков регрессии на подвыборке из наблюдений, включающих большие значения Х.

Шаг 4. Рассчитывается F-статистика вида:

,

которая сравнивается с табличным значением F-распределения Фишера при уровне значимости  и степенях свободы. Здесь:

n - общее количество наблюдений;

- количество центральных неучтенных наблюдений;

m - количество объясняющих переменных в каждой регрессии (для парной регрессии m=1).

Если , то с надежностью гетероскедастичность отсутствует, т.е. в этом случае делается вывод о гомоскедастичности остатков.

Если , то с надежностью делается вывод о наличии гетероскедастичности.