Обобщенный метод наименьших квадратов (метод Эйткена)
Эконометрическая модель с гетероскедастичностью является обобщенной моделью, и для оценивания ее параметров применяют обобщенный метод наименьших квадратов (метод Эйткена). Согласно этому методу оператор оценивания вектора параметров B обобщенной регрессионной модели выглядит так:
. (4.6)
Матрица
– это матрица значений объясняющих
переменных размерности
,
на основе которых строится модель:
.
Эта матрица кроме вектора независимых
переменных содержит вектор единиц.
Вектор единиц дописывается в этой
матрице слева тогда, когда эконометрическая
модель содержит свободный член
.
Поскольку явление гетероскедастичности связано только с тем, что меняются дисперсии остатков, а корреляция между ними отсутствует, то матрица S, с помощью которой трансформируются исходные данные, является диагональной и имеет вид:
, (4.7)
где
рассчитываются в зависимости от случая
гетероскедастичности. Наиболее часто
встречаются следующие случаи
гетероскедастичности:
а) дисперсия остатков пропорциональна
значениям j-той
объясняющей переменной
.
В этом случае
;
б) дисперсия остатков пропорциональна
квадрату значений j-той
объясняющей переменной
.
В этом случае
.
Заметим, что в случае выполнения условия
гомоскедастичности оценка обобщенного
метода наименьших квадратов
совпадает с оценкой обычного МНК, т.к.
в этом случае диагональные элементы
матрицы S
равны единице:
.
Рассмотрим определение величин, используемых при анализе статистического качества модели, параметры которой оценены обобщенным методом наименьших квадратов.
Сумма квадратов отклонений:
общая (наблюдаемых значений зависимой переменной от среднего по выборке значения зависимой переменной)
; (4.8)
межгрупповая (расчетных значений зависимой переменной от среднего по выборке значения зависимой переменной)
, (4.9)
где
-
массивы исходных данных в естественном
масштабе, измеренные относительно
начала отсчета, а не в форме отклонений
от своих средних по выборке значений;
-
среднее по выборке значение скорректированной
зависимой переменной
; (4.10)
-
единичный вектор-столбец
размерности
(все элементы единичного вектора-столбца
равны единице)
; (4.11)
- диагональная матрица, имеющая вид:
. (4.12)
Коэффициент детерминации без учета степеней свободы:
. (4.13)
Несмещенная оценка остаточной дисперсии модели:
. (4.14)
Матрица ковариаций вектора оценок параметров модели:
, (4.15)
диагональные элементы
которой являются оценками дисперсии
оценок параметров модели
.
Зная вектор
и
можно воспользоваться Т-тестом Стьюдента
для проверки значимости оценок параметров
модели и построить доверительные
интервалы для параметров модели.
В заключение заметим, что когда параметры эконометрической модели оцениваются обобщенным методом наименьших квадратов, проблема прогнозирования требует специального рассмотрения.
Методические рекомендации по выполнению работы
1. На основе исходного массива наблюдений с помощью инструмента Анализ Данных/Регрессия пакета MS Excel выполняем построение линейной регрессионной модели. При этом должны быть установлены следующие флажки диалогового окна: График остатков, График подбора.
В отчете необходимо:
привести таблицы регрессионного анализа;
на основе таблиц результатов проанализировать статистическое качество модели;
построить график остатков, график квадратов остатков и график подбора;
выполнить графический анализ остатков на наличие гетероскедастичности.
Пример.
По исходным данным (табл.4.3) с помощью инструмента Анализа Данных/Регрессия построена линейная регрессия. Полученные при этом таблицы регрессионного анализа представлены в табл.4.4.
Тогда исходная регрессионная зависимость эконометрической модели имеет вид:
.
Проанализируем статистическое качество исходной эконометрической модели.
Коэффициент детерминации для этой модели (0,722489) статистически значим, и означает, что вариация сбережений на 72,25% определяется вариацией доходов населения. Модель в целом является статистически достоверной (значимость F-статистики 7,96E-06, что значительно меньше допустимого уровня значимости 0,05). Оценки всех параметров также статистически значимы, т.к. их Р-значения значительно меньше, чем 0,05.
На первый взгляд результат наводит на мысль, что спецификация модели не содержит ошибки.
Однако логично предположить, что стандартное отклонение величины сбережений для отдельных групп населения может меняться пропорционально среднему доходу этой группы. Эта ситуация вполне реалистична: люди с большим доходом имеют больший простор для его распределения. Поэтому для этой модели очень вероятно существование гетероскедастичности.
Таблица 4.3 – Исходные данные для примера
Наблюдение |
X |
Y |
1 |
15 |
2,30 |
2 |
15 |
2,20 |
3 |
16 |
2,08 |
4 |
17 |
2,20 |
5 |
17 |
2,10 |
6 |
18 |
2,32 |
7 |
19 |
2,45 |
8 |
20 |
2,50 |
9 |
20 |
2,20 |
10 |
22 |
2,50 |
11 |
64 |
3,10 |
12 |
68 |
2,50 |
13 |
72 |
2,82 |
14 |
80 |
3,04 |
15 |
85 |
2,70 |
16 |
90 |
3,94 |
17 |
95 |
3,10 |
18 |
100 |
3,99 |
Таблица 4.4 – Регрессия по исходным данным обычным МНК
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,849994 |
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,722489 |
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,705145 |
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,312088 |
|
|
|
|
|
Наблюдения |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
4,057193 |
4,057193 |
41,65538 |
7,96E-06 |
|
Остаток |
16 |
1,558384 |
0,097399 |
|
|
|
Итого |
17 |
5,615578 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффици-енты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересечение |
1,99891 |
0,127227 |
15,71133 |
3,81E-11 |
1,729203 |
2,268623 |
X |
0,01448 |
0,002243 |
6,454098 |
7,96E-06 |
0,009722 |
0,019232 |
|
|
|
|
|
|
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
е^2 |
|
|
|
1 |
2,216072 |
0,083928 |
0,007044 |
|
|
|
2 |
2,216072 |
-0,01607 |
0,000258 |
|
|
|
3 |
2,230549 |
-0,15055 |
0,022665 |
|
|
|
4 |
2,245026 |
-0,04503 |
0,002027 |
|
|
|
5 |
2,245026 |
-0,14503 |
0,021033 |
|
|
|
6 |
2,259504 |
0,060496 |
0,00366 |
|
|
|
7 |
2,273981 |
0,176019 |
0,030983 |
|
|
|
8 |
2,288458 |
0,211542 |
0,04475 |
|
|
|
9 |
2,288458 |
-0,08846 |
0,007825 |
|
|
|
10 |
2,317413 |
0,182587 |
0,033338 |
|
|
|
11 |
2,925458 |
0,174542 |
0,030465 |
|
|
|
12 |
2,983368 |
-0,48337 |
0,233644 |
|
|
|
13 |
3,041277 |
-0,22128 |
0,048963 |
|
|
|
14 |
3,157095 |
-0,11709 |
0,013711 |
|
|
|
15 |
3,229481 |
-0,52948 |
0,28035 |
|
|
|
16 |
3,301868 |
0,638132 |
0,407213 |
|
|
|
17 |
3,374254 |
-0,27425 |
0,075215 |
|
|
|
18 |
3,446641 |
0,543359 |
0,29524 |
|
|
|
Определиться с наличием гетероскедастичности позволяет использование графического представления остатков.
На графике изменения остатков регрессии
,
который получен в результатах
регрессионного анализа, видна тенденция
увеличения размаха остатков с увеличением
значения Х
(рис.4.1).
Проанализируем теперь график изменения
квадратов остатков регрессии
,
для построения которого в блок ВЫВОД
ОСТАТКА (см. табл.4.4) добавим квадраты
остатков (см. колонку е^2),
рассчитав их на основе данных колонки
Остатки.
Если все квадраты остатков
находятся внутри полуполосы постоянной
ширины, параллельной оси абсцисс, это
говорит о независимости дисперсии
остатков от значений переменной Х
и их постоянстве, т.е. о выполнении
условия гомоскедастичности.
В данном примере квадраты отклонений при больших значениях Х намного больше, чем при малых, что говорит о наличии гетероскедастичности.
Рис.4.1. Графики остатков и квадратов остатков
В принципе и на графике подбора (рис 4.2) видно (хотя и не так явно), что разброс наблюдаемых точек относительно линии регрессии увеличивается с увеличением значения Х.
Рис.4.2. График подбора
2. Проверяем наличие гетероскедастичности с помощью параметрического теста Голдфелда-Квандта.
Пример.
Упорядочим массив наблюдений (табл.4.3) в порядке возрастания наблюдаемых значений объясняющей переменной Х (данные в табл.4.3 уже упорядочены).
Определяем оптимальное количество центральных наблюдений, которые необходимо отбросить:
.
Принимаем ближайшее
,
т.к. в этом случае после отбрасывания
средних наблюдений упорядоченной
выборки получим две подвыборки одинаковой
длины
,
одна из которых включает малые
значения Х,
а другая – большие значения Х.
С помощью обычного МНК оцениваем отдельные регрессии для первых и для последних наблюдений (табл.4.5):
для оценивания регрессии на подвыборке, включающей малые значения Х, выделяем область пустых ячеек D3:E7, вводим формулу =ЛИНЕЙН(C3:C9;B3:B9;1;1), нажимаем клавишу F2, затем – комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter;
для оценивания регрессии на подвыборке, включающей большие значения Х, выделяем область пустых ячеек D14:E18, вводим формулу =ЛИНЕЙН(C14:C20;B14:B20;1;1), нажимаем клавишу F2, затем – комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Суммы квадратов остатков для первой и второй регрессии специально вычислять не надо, т.к. они содержатся в полученных с помощью встроенной статистической функции ЛИНЕЙН массивах регрессионной статистики:
для регрессии на подвыборке, включающей малые значения Х, – в ячейке E7 (
=0,07453);для регрессии на подвыборке, включающей большие значения Х, – в ячейке E18 (
=0,84581).
Таблица 4.5 – Параметрический тест Голдфелда-Квандта
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
2 |
Наблюдение |
X |
Y |
Регрессия для подвыборки из малых значений Х |
|||
3 |
1 |
15 |
2,30 |
0,04553 |
1,47468 |
|
|
4 |
2 |
15 |
2,20 |
0,03332 |
0,55879 |
|
|
5 |
3 |
16 |
2,08 |
0,27195 |
0,12209 |
|
|
6 |
4 |
17 |
2,20 |
1,86762 |
5 |
|
|
7 |
5 |
17 |
2,10 |
0,02784 |
0,07453 |
|
|
8 |
6 |
18 |
2,32 |
|
|
|
|
9 |
7 |
19 |
2,45 |
|
|
|
|
10 |
8 |
20 |
2,50 |
|
|
|
|
11 |
9 |
20 |
2,20 |
|
|
|
|
12 |
10 |
22 |
2,50 |
|
|
|
|
13 |
11 |
64 |
3,10 |
Регрессия для подвыборки из больших значений Х |
|||
14 |
12 |
68 |
2,50 |
0,03854 |
-0,0929 |
|
|
15 |
13 |
72 |
2,82 |
0,01428 |
1,21369 |
|
|
16 |
14 |
80 |
3,04 |
0,59296 |
0,41129 |
|
|
17 |
15 |
85 |
2,70 |
7,28391 |
5 |
|
|
18 |
16 |
90 |
3,94 |
1,23216 |
0,84581 |
|
|
19 |
17 |
95 |
3,10 |
|
|
F*= |
11,3483 |
20 |
18 |
100 |
3,99 |
|
|
Fтабл= |
5,050339 |
Рассчитываем статистику : в ячейку G19 вводим формулу =E18/E7, результат применения которой равняется 11,3483.
Для определения табличного значения
F-распределения Фишера при уровне
значимости
и числе степеней свободы
;
в ячейку G20 вводим
формулу =FРАСПОБР(0,05;5;5), результат
применения которой равняется 5,050339.
В данном случае . Следовательно, с надежностью 0,95 в исходных данных имеет место гетероскедастичность.
3. Поскольку в исходных данных рассматриваемого примера гетероскедастичность выявлена, оценим параметры модели методом взвешенных наименьших квадратов, полагая что дисперсия остатков пропорциональна квадрату значений объясняющей переменной Х.
Пример.
Разделив уравнение исходной модели на Х, после замены переменных вместо исходной модели с гетероскедастичностью, получим классическую регрессионную модель вида:
.
Значения преобразованных переменных вычисляем в ячейках J68:K85 по формулам (табл.4.6). Для оценивания преобразованной модели обычным МНК с помощью встроенной статистической функции ЛИНЕЙН, выделяем блок пустых ячеек L68:M72, состоящий из двух столбцов (по числу оцениваемых параметров) и пяти строк, и вводим формулу
=ЛИНЕЙН(J68:J85;K68:K85;1;1)
Нажимаем клавишу F2, затем – клавиши Ctrl+Shift+Enter.
Таблица 4.6 – Построение регрессии методом взвешенных наименьших квадратов
|
J |
K |
L |
M |
67 |
Y/X |
1/X |
Оценки параметров ВМНК: |
|
68 |
0,153333 |
0,066666667 |
2,011722998 |
0,01430815 |
69 |
0,146667 |
0,066666667 |
0,068591827 |
0,0029776 |
70 |
0,13 |
0,0625 |
0,981739006 |
0,00657418 |
71 |
0,129412 |
0,058823529 |
860,1845214 |
16 |
72 |
0,123529 |
0,058823529 |
0,037177047 |
0,00069152 |
73 |
0,128889 |
0,055555556 |
|
|
74 |
0,128947 |
0,052631579 |
|
|
75 |
0,125 |
0,05 |
|
|
76 |
0,11 |
0,05 |
|
|
77 |
0,113636 |
0,045454545 |
|
|
78 |
0,048438 |
0,015625 |
|
|
79 |
0,036765 |
0,014705882 |
|
|
80 |
0,039167 |
0,013888889 |
|
|
81 |
0,038 |
0,0125 |
|
|
82 |
0,031765 |
0,011764706 |
|
|
83 |
0,043778 |
0,011111111 |
|
|
84 |
0,032632 |
0,010526316 |
|
|
85 |
0,0399 |
0,01 |
|
|
Поскольку после преобразования модели параметры и поменялись ролями, то в результатах применения функции ЛИНЕЙН эффективная оценка параметра исходной модели находится в ячейке L68, а эффективная оценка параметра – в ячейке M68. Следовательно, регрессионная зависимость эконометрической модели, оцененная ВМНК, имеет вид:
.
4. Строим матрицу S и матрицу .
Пример.
Вывод о наличии в исходных данных гетероскедастичности сделан на основе параметрического теста Голдфелда-Квандта, одним из условий применения которого является предположение о том, что дисперсия остатков изменяется пропорционально квадрату одной из объясняющих переменных модели.
Поэтому будет логичным, если мы для
построения матрицы S
(табл.4.7) и матрицы
(табл.4.8) воспользуемся вторым случаем
гетероскедастичности, т.е. будем полагать,
что дисперсия остатков пропорциональна
квадрату значений объясняющей переменной
Х. В этом
случае для наших данных (табл.4.3)
.
Следовательно,
и
.
Таблица 4.7 – Матрица S
|
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z |
2 |
Х^2 |
Матрица S |
|||||||||||||||||
3 |
225 |
225 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
225 |
0 |
225 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
256 |
0 |
0 |
256 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
289 |
0 |
0 |
0 |
289 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
289 |
0 |
0 |
0 |
0 |
289 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
324 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
324 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
361 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
361 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
400 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
400 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
11 |
400 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
400 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
484 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
484 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
4096 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4096 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
4624 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4624 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
15 |
5184 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5184 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16 |
6400 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6400 |
0 |
0 |
0 |
0 |
17 |
7225 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7225 |
0 |
0 |
0 |
18 |
8100 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8100 |
0 |
0 |
19 |
9025 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9025 |
0 |
20 |
10000 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10000 |
Таблица 4.8 – Матрица
|
AB |
AC |
AD |
AE |
AF |
AG |
AH |
AI |
AJ |
AK |
AL |
AM |
AN |
AO |
AP |
AQ |
AR |
AS |
AT |
2 |
1/X |
Матрица P^-1 |
|||||||||||||||||
3 |
0,067 |
0,067 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0,067 |
0 |
0,067 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0,063 |
0 |
0 |
0,063 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0,059 |
0 |
0 |
0 |
0,059 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0,059 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,059 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0,056 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,056 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0,053 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,053 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
0,05 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,05 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
11 |
0,05 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,05 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
0,045 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,045 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
13 |
0,016 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,016 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
0,015 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,015 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
15 |
0,014 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,014 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16 |
0,013 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,013 |
0 |
0 |
0 |
0 |
17 |
0,012 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,012 |
0 |
0 |
0 |
18 |
0,011 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,011 |
0 |
0 |
19 |
0,011 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,011 |
0 |
20 |
0,01 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,01 |
5. Оцениваем параметры модели обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК).
Пример.
Исходные данные, на основе которых строится модель, скопируем в ячейки A68:D85, как это представлено в табл.4.9.
Теперь матрица значений объясняющих переменных располагается в ячейках B68:C85. В этой матрице каждая строка представляет наблюдение вектора значений независимых переменных (у нас один фактор – доход); единица соответствует переменной при свободном члене .
Таблица 4.9 – Построение регрессии обобщенным методом наименьших квадратов
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
67 |
Наблюдение |
Х0 |
X |
Y |
|
Оценки параметров методом Эйткена: |
|||
68 |
1 |
1 |
15 |
2,30 |
|
b^0= |
2,01172 |
|
|
69 |
2 |
1 |
15 |
2,20 |
|
b^1= |
0,01431 |
|
|
70 |
3 |
1 |
16 |
2,08 |
|
|
Y*ср= |
0,08888 |
|
71 |
4 |
1 |
17 |
2,20 |
|
Сумма квадратов отклонений: |
|
||
72 |
5 |
1 |
17 |
2,10 |
|
|
Общая = |
0,03787 |
|
73 |
6 |
1 |
18 |
2,32 |
|
|
Объяснен.= |
0,03718 |
|
74 |
7 |
1 |
19 |
2,45 |
|
|
|
|
|
75 |
8 |
1 |
20 |
2,50 |
|
Остаточная дисперсия= |
4,3E-05 |
|
|
76 |
9 |
1 |
20 |
2,20 |
|
|
|
|
|
77 |
10 |
1 |
22 |
2,50 |
|
Коэффициент детерминации |
|
|
|
78 |
11 |
1 |
64 |
3,10 |
|
|
R^2= |
0,9817 |
|
79 |
12 |
1 |
68 |
2,50 |
|
F= |
860,1845 |
Fтабл= |
4,494 |
80 |
13 |
1 |
72 |
2,82 |
|
Матрица ковариаций оценок параметров: |
|||
81 |
14 |
1 |
80 |
3,04 |
|
0,004704839 |
-0,000174 |
|
|
82 |
15 |
1 |
85 |
2,70 |
|
-0,000174404 |
8,87E-06 |
|
|
83 |
16 |
1 |
90 |
3,94 |
|
|
|
|
|
84 |
17 |
1 |
95 |
3,10 |
|
Ст.откл.b^0= |
0,068592 |
tb0= |
29,32890 |
85 |
18 |
1 |
100 |
3,99 |
|
Ст.откл.b^1= |
0,002978 |
tb1= |
4,80526 |
86 |
Сумма |
18 |
|
|
|
|
|
tтабл= |
2,1199 |
87 |
|
|
|
|
|
Доверительные интервалы для параметров: |
|||
88 |
|
|
|
|
|
|
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
89 |
|
|
|
|
|
b0= |
1,866315 |
2,15713 |
|
90 |
|
|
|
|
|
b1= |
0,007996 |
0,02062 |
|
Вектор-столбец наблюдений зависимой переменной (сбережения) располагается в ячейках D68:D85, а матрица S – в ячейках I3:Z20.
Для получения вектора оценок параметров модели методом Эйткена выделяем блок пустых ячеек G68:G69 и для вычисления оператора оценивания (4.6) вводим формулу:
=МУМНОЖ( МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(B68:C85);МУМНОЖ(МОБР(I3:Z20);B68:C85)));МУМНОЖ(ТРАНСП(B68:C85);МУМНОЖ(МОБР(I3:Z20);D68:D85)))
или
=МУМНОЖ( МОБР(МУМНОЖ(МУМНОЖ(ТРАНСП(B68:C85);МОБР(I3:Z20));B68:C85)); МУМНОЖ(МУМНОЖ(ТРАНСП(B68:C85);МОБР(I3:Z20));D68:D85))
Нажимаем клавишу F2, затем – клавиши Ctrl+Shift+Enter.
В результате получим:
.
Тогда регрессионная зависимость эконометрической модели имеет вид:
6. Проанализируем статистическое качество модели, параметры которой оценены обобщенным методом наименьших квадратов.
Пример.
6.1. Среднее по выборке значение
скорректированной зависимой переменной
(4.10): учитывая, что единичный вектор-столбец
необходимой размерности находится в
ячейках B68:B85, диагональная матрица
– в ячейках AC3:AT20, а число наблюдений
,
в ячейку H70 вводим формулу
=МУМНОЖ(ТРАНСП(B68:B85);МУМНОЖ(AC3:AT20;D68:D85))/18
Нажимаем клавишу F2, затем – клавиши Ctrl+Shift+Enter. В результате получим:
.
6.2. Общая сумма квадратов отклонений
(4.8): учитывая, что
находится в ячейке H70, в ячейку H72
вводим формулу
=МУМНОЖ(ТРАНСП(D68:D85);МУМНОЖ(МОБР(I3:Z20);D68:D85))-18*(H70^2)
Нажимаем клавишу F2, затем – клавиши Ctrl+Shift+Enter. В результате получим:
.
Межгрупповая (объясненная) сумма квадратов отклонений (4.9): учитывая, что вектор-столбец находится в ячейках G68:G69, в ячейку H73 вводим формулу
=МУМНОЖ(ТРАНСП(G68:G69);МУМНОЖ(ТРАНСП(B68:C85); МУМНОЖ(МОБР(I3:Z20);D68:D85)))-18*(H70^2)
Нажимаем клавишу F2, затем – клавиши Ctrl+Shift+Enter. В результате получим:
.
6.3. Коэффициент детерминации без учета степеней свободы (4.13):
.
6.4. Проверим модель на адекватность по F-критерию Фишера. Для этого оценим статистическую значимость коэффициента детерминации :
рассчитываем F-статистику: в ячейку G79 вводим формулу =H78/(1-H78)*((18-1-1)/1), результат применения которой дает
=860,1845
где n – число наблюдений; m – число объясняющих переменных.
Величина F-статистики, если предположить,
что выполнены предположения относительно
ошибок, имеет распределение Фишера с
степенями свободы;
определяем табличное (критическое) значение F-распределения Фишера
при уровне значимости
и числе степеней свободы
;
:
в ячейку I79 вводим
формулу =FРАСПОБР(0,05;1;16), результат
применения которой равняется 4,494.так как
,
то с надежностью 0,95 полученное значение
коэффициента детерминации статистически
значимо, и, следовательно, модель в
целом является статистически достоверной
по F-критерию Фишера.
6.5. Несмещенная оценка остаточной дисперсии модели (4.14): в ячейку H75 вводим формулу
=МУМНОЖ( ТРАНСП(D68:D85-МУМНОЖ(B68:C85;G68:G69)); МУМНОЖ(МОБР(I3:Z20);(D68:D85-МУМНОЖ(B68:C85;G68:G69))))/(18-1-1)
Нажимаем клавишу F2, затем – клавиши Ctrl+Shift+Enter.
В результате получим:
6.6. Для построения матрицы ковариаций вектора оценок параметров модели в соответствии с (4.15), выделяем блок пустых ячеек F81:G82 и вводим формулу:
=H75*МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(B68:C85);МУМНОЖ(МОБР(I3:Z20);B68:C85)))
Нажимаем клавишу F2, затем – клавиши Ctrl+Shift+Enter.
Диагональные элементы построенной матрицы ковариаций являются оценками дисперсии оценок параметров модели. В результате получим:
в ячейке F81 – оценка дисперсии оценки параметра :
=0,004704839;
в ячейке G82 – оценка дисперсии оценки параметра :
=8,87E-06.
6.7. Оценки стандартных ошибок оценок параметров:
в ячейку G84 вводим формулу =КОРЕНЬ(F81), результат применения которой дает
0,068592;
в ячейку G85 вводим формулу =КОРЕНЬ(G82), результат применения которой дает
0,002978.
6.8. Воспользуемся Т-тестом Стьюдента для проверки статистической значимости оценок параметров модели.
Рассчитываем t-статистики для оценок параметров:
в ячейку I84 вводим формулу =G68/G84, результат применения которой дает
=29,32890;
в ячейку I85 вводим формулу =G69/G85, результат применения которой дает
=4,80526.
Рассчитанные t-статистики сравниваем
с табличным критическим значением
t-распределения Стьюдента при выбранном
уровне значимости и степенях свободы
,
где k –
количество оцененных параметров.
Для определения табличного значения t-критерия при уровне значимости и числе степеней свободы 18-2=16 в ячейку I86 вводим формулу =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;(18-2)), результат применения которой равняется 2,1199.
Поскольку в данном случае
и
,
то с надежностью 0,95 оценки параметров
и
статистически достоверно отличаются
от нуля, т.е. являются значимыми.
6.9. Доверительные интервалы для параметров модели строятся по формуле:
.
Тогда с надежностью 0,95 параметры модели могут находиться в следующих границах:
в ячейку G89 вводим формулу =G68-I86*G84; в ячейку H89 вводим формулу =G68+I86*G84, результат применения которых дает 95%-доверительный интервал для параметра
:
1,866315
2,15713;
в ячейку G90 вводим формулу =G69-I86*G85; в ячейку H90 вводим формулу =G69+I86*G85, результат применения которых дает 95%-доверительный интервал для параметра
:
0,007996
0,02062.
7. Выполним экономико-математический анализ характеристик эконометрической модели.
Пример.
1.Регрессионная зависимость эконометрической модели, оцененная как ВМНК, так и ОМНК, имеет вид (в скобках указаны оценки стандартных ошибок оценок параметров):
|
2,01172 |
+ |
0,01431·Х, |
|
(4.16) |
|
(0,06859) |
|
(0,00298) |
|
|
Коэффициент детерминации . Это означает, что на 98,17% вариация величины сбережений зависит от величины дохода. Поскольку , то с надежностью 0,95 построенную регрессионную модель можно считать адекватной наблюдаемым данным и на основе этой модели можно проводить экономический анализ.
Остаточная (необъясненная) дисперсия .
Оценка параметра модели
с надежностью 0,95 является статистически
значимой. Увеличение дохода на единицу
с надежностью 0,95 содействует предельному
увеличению сбережений на величину от
0,007996
до 0,02062
единиц.
Свободный член отражает средний эффект всех факторов, которые влияют на объем сбережений за исключением величины дохода.
2.Эконометрическая модель, параметры которой оценены по исходным данным обычным МНК, имеет вид:
|
1,99891 |
+ |
0,01448·Х, |
|
(4.17) |
|
(0,12723) |
|
(0,00224) |
|
|
Коэффициент детерминации . Это означает, что на 72,25% вариация величины сбережений зависит от величины дохода. Поскольку уровень значимости F-статистики 7,96E-06 значительно меньше допустимого уровня значимости 0,05, то с надежностью 0,95 эту регрессионную модель также можно считать адекватной наблюдаемым данным. Здесь остаточная дисперсия . Отсюда, сравнив характеристики этой модели с моделью, параметры которой оценены ОМНК, можно утверждать, что в данном случае оценки, полученные ОМНК, эффективнее (остаточная дисперсия меньше).
3.Экономическая интерпретация: если, например, в прогнозируемый период доход составит 22 у.е., как это имеет место в наблюдении №10, точечный прогноз величины сбережений составит:
=2,01172+0,01431·22=2,3265 у.е.