3.4.4. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
и перпендикулярности прямых
Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями
(l1),
(l2).
Под углом между прямыми l1 и l2 понимают угол между направляющими векторами 1 (m1,n1,p1) и 2 (m2,n2,p2). Поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами
или
.
(3.32)
Для определения острого угла между прямыми l1 и l2 числитель правой части (3.47) следует взять по модулю.
Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то cos φ = 0, или
m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0. (3.33)
Данное соотношение является условием перпендикулярности двух прямых.
Если прямые l1 и l2 параллельны, то параллельны также их направляющие векторы 1 (m1,n1,p1) и 2 (m2,n2,p2). Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны:
.
(3.34)
Данное соотношение является условием параллельности двух прямых.
Преобразование общих уравнений прямой к канонической форме
Пусть заданы уравнения прямой l в общем виде (3.31), необходимо преобразовать эти уравнения к канонической форме
.
Координаты точки М0(х0,у0,z0) на прямой l получаем из системы (3.31), придав одной из координат произвольное значение (например z = 0).
Так как прямая l перпендикулярна нормальным векторам 1 (A1 , B1 , C1) и 2 (A2 , B2 , C2), то в качестве направляющего вектора прямой l можно взять вектор , определяемый векторным произведением 1 2 , т.е.
=
1
2
=
.
В результате искомые канонические уравнения прямой l имеют вид:
.
(3.35)
3.4.5. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности
и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть уравнения прямой l и плоскости π заданы уравнениями
, (l)
A x + B y + C z + D = 0 . (π)
Угол между прямой
и плоскостью будем определять как угол
между прямой и её проекцией на плоскость.
Обозначим через φ
угол между плоскостью π и прямой l
, а через θ
угол между векторами
(A
, B
, C)
и
(m,n,p)
(см. рис. 3.14). Тогда
.
Найдём синус угла φ
, считая, что
φ ≤
.
Рис. 3.14.
, а
так как
,
то получим
.
(3.36)
Если прямая l параллельна плоскости π , то векторы и перпендикулярны и ∙ = 0, поэтому
A m + B n + C p = 0. (3.37)
Соотношение (3.37) является условием параллельности прямой и плоскости.
Если прямая l перпендикулярна плоскости π , то векторы и параллельны. Поэтому равенства
(3.38)
является условием перпендикулярности прямой и плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью.
Пусть требуется найти пересечение прямой l
(l )
с плоскостью π
A x + B y + C z + D = 0 (π).
Для этого необходимо решить систему уравнений (l) + (π). Проще всего решение этой системы можно получить, если записать уравнения прямой l в параметрическом виде
.
Подставляя эти выражения для x, y и z в уравнение (π) для плоскости, получим линейное уравнение относительно параметра t
.
Если прямая l не параллельна плоскости π, т.е. если Am + Bn + Cp ≠ 0, то из предыдущего выражения находим значение параметра t :
.
(3.39)
В результате из параметрических уравнений прямой определяем координаты точки пересечения прямой l с плоскостью π.
Рассмотрим теперь случай, когда Am + Bn + Cp = 0 (l || π):
если G = A x0 + B y0 + C z0 + D ≠ 0 , то прямой l параллельна плоскости π и её пересекать не может;
если G = A x0 + B y0 + C z0 + D = 0, уравнение (3.39) относительно параметра t ( 0 ∙ t + 0 = 0 ) удовлетворяется при любом значении параметра, т.е. любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств
является условием принадлежности прямой l плоскости π.