3.6.2. Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второй степени.

Цилиндрические поверхности.

Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости Oxy (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

1) - эллиптический цилиндр.

2) - гиперболический цилиндр.

3) x² = 2py – параболический цилиндр.

Поверхности вращения.

Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x² + y², z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью

вращения Оz.

Аналогично: F(x² + z², y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z² + y², x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

1. - эллипсоид вращения

2. - однополостный гиперболоид вращения

3. - двуполостный гиперболоид вращения

4. - параболоид вращения

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

Трехосный эллипсоид:

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

Однополостный гиперболоид:

Двуполостный гиперболоид:

Эллиптический параболоид:

где р > 0, q > 0

Гиперболический параболоид:

Конус второго порядка:

3.7. Графические возможности Maxima

Графика стала важнейшей составляющей всех современных систем компьютерной математики. Она является средством компьютерной визуализации вычислений и обеспечивает наглядное представление результатов многих вычислений. Например, при реализации многих приближённых численных математических методов необходимо знать начальное приближение, которое, как правило, определяется визуально по графическому представлению соответствующе зависимости. В частности, задачи отделения корней при решении уравнений с одним неизвестным, определения локальных минимумов (максимумов) функции двух переменных и др. успешно решаются с учётом графического рельефа функциональной зависимости. Решения дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных) также удобно представлять в визуализированной форме.

Maxima представляет обширные возможности для визуализации функций одной и двух переменных. В этом разделе рассматривается не общие возможности Maxima, а только те возможности, которые связаны с визуализацией кривых и поверхностей второго порядка.

Графики функций одной переменной

Для построения графиков на плоскости можно использовать команду plot2d:

plot2d(выражение, [символ, начало, конец]),

где выражение задает функцию, график которой нужно построить;

символ — переменная, входя­щее в выражение функции;

начало и конец задают отрезок оси Ох, на котором строится гра­фик функции y =f(x), область изменения переменной у выбирается автоматически, исходя из ми-

нимума и максимума функции на заданном промежутке.

После вызова функции plot2d открывается окно Gnuplot graph с выполненным построением. График можно масштабировать только изменением размеров окна. Также можно про­смотреть координаты какой-либо точки графика функции. Чтобы построить в одной плоскости одновременно два графика (или больше), в функции plot2d следует вместо отдельного выражения указать их список.

C помощью команды plot2d можно строить графики параметрически заданных функций. Для этого используется список с ключевым словом parametric:

plot2d([parametric, x-выражение, y-выражение, [переменная, нача­ло, конец], [nticks, количество]]).

Здесь x-выражение и y-выражение задают зависимость координат от параметра, то есть это две функции вида x(t), y(t), где t — пара­метр. Эта же переменная прописывается в следующем списке, пара­метры начало, конец задают отрезок, в пределах которого этот параметр бу­дет изменяться. Последний аргумент-список, с ключевым словом nticks, за­дает количество точек, на которые будет разбит интервал изменения парамет­ра при построении графика.

Кроме того, в системе Maxima можно воспользоваться встроенными функциями для построения графиков в различных системах координат Например, функция

polar (radius, ang, minang, maxang)

выполняет построение графика функции radius(ang), заданной в полярной си­стеме координат, аргумента ang, меняющего значения от minang до maxang.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Построить график функции y = 2е^-0,1x cos x (затухающие колебания).

1 способ. В ячейке ввода задаем команду: plot2d(2*exp(0.1*x)*cos(x),[x,0, 20]). После нажатия клавиш Shift+Enter или F5 формируется ячейка ввода в документе

(%i2) plot2d(2*exp(-0.1*x)*cos(x),[x,0,20]);

и открывается окно программы Gnuplot graph с графиком функции:

2 способ. В панели инструментов выбираем кнопку Графики → Plot 2d…, появляется диалоговое окно, в котором предлагается ввести выражение для графика функции, пределы изменения переменной по оси x и y, количество точек графика, выбрать формат для построения графика функции. Например, для построения графика функции y = 2е^-0,1x cos x выберем следующие параметры:

При нажатии на кнопку Ok получим тот же график. Таким образом, можно выбирать наиболее удобный способ построения графиков функций на плоскости.

Пример 2. Построить график параболы

После нажатия клавиш Shift+Enter или F5 формируется ячейка ввода, которой вводим команду plot2d(3*x**2-2*x-4,[x,-2,3]);

(%i6) plot2d(3*x**2-2*x-4,[x,-2,3]);

и открывается окно программы Gnuplot graph с графиком функции:

Пример 3. Построить график окружности, заданной в параметрической форме

Выполним построение графика параметрически заданной функции следующим образом. Вызываем диалоговое окно для построения графика функции, нажав кнопку Графики → Plot 2d…. В этом окне выбираем Дополнительно → Параметрический график. Открывается диалоговое окно для ввода функ­ции. Заполняем:

Нажимаем на кнопку Ok. Теперь вводим пределы изменения перемен­ных x и y в окне Двумерный график. Нажимаем на кнопку Ok. В результате получаем график:

Пример 4. Построить график неявной функции. В этом случае необходимо воспользоваться пакетом для построения графиков неявно заданных функций implicit_plot. Выполним загрузку пакета:

(%i7) load(implicit_plot)$

Теперь выполняем построение графика эллипса :

(%i8) implicit_plot((x^2)/9+(y^2)/4-1,[x,-3,3],[y,-2,2]);

Аналогичным образом построим график гиперболы

(%i17) implicit_plot((x^2)/2-(y^2)-1,[x,-5,5],[y,-3,3]);

Графики функций двух переменных

Для построения графиков поверхностей и кривых в пространстве пред­назначена функция plot3d. Функция plot3d имеет два варианта вызова: один для явного задания функции и один для параметрического. В обоих случаях функция принимает три аргумента.

Синтаксис для явно заданной функции:

plot3d(выражение, [переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]);

- здесь аргументы аналогичны plot2d, с той разницей, что здесь независимых пере­менных две.

График параметрически заданной функции строится так:

plot3d([выражение1, выражение2, выражение3], [переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]);

- здесь выражения соответствуют, по порядку, x(u, v), y(u, v), z(u, v).

Для построения 3D графика функции в сферической системе коорди­нат используется функция

spherical (radius, azi, minazi, maxazi, zen, minzen, maxzen)

где функция radius(azi, zen) задается в сферических координатах.

Для построения 3D графика функции в цилиндрической системе коор­динат используется функция

cylindrical (radius,z,minz,maxz,azi,minazi,maxazi)

где функция radius(z, azi) задается в цилиндрических координатах.

Пример 1. Построить график поверхности z = 2x² + 5y² (эллиптический параболоид). После нажатия клавиш Shift+Enter или F5 формируется ячейка ввода, которой вводим команду plot3d(2*x^2-5*y^2,[x,-5,5],[y,-5,5])

(%i18) plot3d(2*x^2+5*y^2,[x,-5,5],[y,-5,5]);

открывается окно программы Gnuplot graph с графиком функции:

Аналогичным образом строим график гиперболического параболоида z = 4x² - y²

(%i19) plot3d(4*x^2-y^2,[x,-5,5],[y,-5,5]);

Пример 2. Построить график поверхности эллиптического цилиндра .

Зададим уравнение эллиптического цилиндра в параметрической форме.

После нажатия клавиш Shift+Enter формируется ячейка ввода, в которой вводим команду plot3d([3*cos(t),2*sin(t),v],[t,-%pi,%pi],[v,0,10]);

(%i2) plot3d([3*cos(t),2*sin(t),v],[t,-%pi,%pi],[v,0,10]);

открывается окно программы Gnuplot graph с графиком функции:

Аналогичным образом строим график гиперболического цилиндра

Зададим уравнение гиперболического цилиндра в параметрической форме.

В ячейку ввода вводим команду plot3d([3*cosh(t),2*sinh(t),v],[t,-2,2],[v,0,10]);

(%i7) plot3d([3*cosh(t),2*sinh(t),v],[t,-2,2],[v,0,10]);

График гиперболического цилиндра имеет вид

Пример 3. Построить график поверхности трёхосного эллипсоида .

Зададим уравнение трёхосного эллипсоида в параметрической форме.

После нажатия клавиш Shift+Enter формируется ячейка ввода, в которой вводим команду plot3d([3*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v), sqrt(5)*sin(u)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

(%i8) plot3d([3*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v), sqrt(5)*sin(u)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

открывается окно программы Gnuplot graph с графиком функции:

Аналогичным образом строим график однополостного гиперболоида

Зададим уравнение однополостного гиперболоида в параметрической форме.

В ячейку ввода вводим команду plot3d([sqrt(2)*cos(u)*cosh(v), 3*sin(u)*cosh(v), sqrt(3)*sinh(v)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

(%i9) plot3d([sqrt(2)*cos(u)*cosh(v), 3*sin(u)*cosh(v), sqrt(3)*sinh(v)],[u,-%pi,%pi],

[v,-%pi,%pi]);

График однополостного гиперболоида имеет вид

Аналогичным образом строим график двуполостного гиперболоида

Зададим уравнение двуполостного гиперболоида в параметрической форме.

В ячейку ввода вводим команду plot3d([2*cos(u)*sinh(v), sqrt(5)*sin(u)*sinh(v), sqrt(6)*cosh(v)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

(%i12) plot3d([2*cos(u)*sinh(v), sqrt(5)*sin(u)*sinh(v), sqrt(6)*cosh(v)],[u,-%pi,%pi],

[v,-%pi,%pi]);

График двуполостного гиперболоида имеет вид