Практичне заняття №12-13

Тема: Числові характеристики вибіркової сукупності

Мета: Навчити студентів обчислювати числові характеристики як за дискретним варіаційним рядом, так і за інтервальним варіаційним рядом, а також давати їм трактовку.

План

1. Статистичні оцінки.

2. Вибіркове середнє.

3. Вибіркова та виправлена дисперсія.

4. Метод добутків.

Методичні рекомендації

Знати формули для обчислення таких числових характеристик як вибіркове середнє, дисперсія, виправлена дисперсія, середнє квадратичне відхилення, виправлене середнє квадратичне відхилення, мода, медіана як за дискретним варіаційним рядом, так і за інтервальним варіаційним рядом. Знати, яким чином знаходяться модальний та медіанний інтервали.

Практичні завдання

Задача 1. Дано вибірку: 4, 2, 3, 2, 5, 4, 4, 5, 8, 7, 1, 5, 5, 5, 6, 7, 5, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 5, 5, 6, 7, 6, 4, 6. Необхідно: побудувати дискретний варіаційний ряд, обчислити числові характеристики.

Розв’язання

Оскільки вибірка має невелику кількість різних варіант, то складаємо дискретний варіаційний ряд. Для цього вибірку впорядковуємо в порядку зростання, знаходимо частоти для кожної варіанти, накопичені частоти та відносні частоти. В результаті одержуємо такий дискретний варіаційний ряд.

хі	ni	nio	ni/n	nio/n
1	2	2	0.067	0.067
2	5	7	0.167	0.233
3	2	9	0.067	0.3
4	5	14	0.167	0.467
5	8	22	0.267	0.733
6	4	26	0.133	0.867
7	3	29	0.1	0.967
8	1	30	0.033	1,000
Всього	30		1,000

Обчислимо числові характеристики:

Вибіркове середнє

Вибіркова дисперсія

Середнє квадратичне відхилення

Виправлена дисперсія

Виправлене середнє квадратичне відхилення

Мода – варіанта з найбільшою частотою: Мо=5

Медіана – серединне значення вибірки:

Задача 2. Дано вибірку: 50, 68, 61, 34, 8, 98, 88, 33, 15, 71, 42, 47, 0, 59, 77, 92, 55, 51, 23, 53, 59, 60, 85, 49, 56, 40, 42, 68, 63, 82, 52, 54, 63, 31, 86, 34, 16, 24, 72, 53, 46, 52, 50, 29, 75, 12, 34, 72, 33, 52. Необхідно: побудувати інтервальний варіаційний ряд з шириною інтервалу h=10; обчислити числові характеристики методом умовних варіант.

Розв’язання

Оскільки маємо досить велику кількість різних варіант, то будуємо інтервальний варіаційний ряд. Всі варіанти розподіляємо по інтервалам, вказуємо середину інтервалу, частоту, накопичену частоту, та відносну частоту. Одержуємо такий інтервальний варіаційний ряд:

Інтервал	середина інтервалу xi	частота ni	накопичена частота niо	відносна частота ni/n	nio/n
[0;10)	5	2	2	0,04	0,04
[10;20)	15	3	5	0,06	0,1
[20;30)	25	3	8	0,06	0,16
[30;40)	35	6	14	0,12	0,28
[40;50)	45	6	20	0,12	0,4
[50;60)	55	13	33	0,26	0,66
[60;70)	65	6	39	0,12	0,78
[70;80)	75	5	44	0,1	0,88
[80;90)	85	4	48	0,08	0,96
[90;100)	95	2	50	0,04	1,00
Всього		50		1,00

В якості уявного нуля обираємо середину інтервалу з найбільшою частотою: С=55. Переходимо до умовних варіант за формулою: . Будуємо розрахункову таблицю з умовними варіантами.

xi	ni	ui	uini	ui2ni	(ui+1)2ni
5	2	-5	-10	50	32
15	3	-4	-12	48	27
25	3	-3	-9	27	12
35	6	-2	-12	24	6
45	6	-1	-6	6	0
55	13	0	0	0	13
65	6	1	6	6	24
75	5	2	10	20	45
85	4	3	12	36	64
95	2	4	8	32	50
	50		-13	249	273

Контроль обчислень: ; 273=249+2*(-13)+50; 273=273 – обчислення правильні.

Середнє вибіркове:

Вибіркова дисперсія:

Середнє квадратичне відхилення:

Виправлена вибіркова дисперсія:

Виправлене середнє квадратичне відхилення:

Мода:

Медіана:

Питання за задачі для самоконтролю:

1. Які ви знаєте числові характеристики? Що вони означають?

2. Запишіть формули для обчислення числових характеристик для дискретного та інтервального варіаційних рядів.

3. Який зв’язок між вибірковою середньою, модою та медіаною?

4. За власним варіантом вибірок А (дискретний ряд) та В (інтервальний ряд) обчислити числові характеристики.

Практичне заняття №13

Тема: Точкові та інтервальні оцінки

Мета: Сформувати у студентів уявлення про точкові та інтервальні оцінки, навчити знаходити довірчі інтервали для математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення.

План

1. Точкові оцінки. Інтервальні оцінки.

2. Довірчі інтервали для математичного сподівання.

3. Довірчі інтервали для дисперсії.

Література

1. Мармоза А.Т. Практикум з математичної статистики: Навч. посібник. – К.: Кондор, 2004. – 264с.

2. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1991. – 157 с.:ил.

Методичні рекомендації

При підготовці даної теми з’ясувати сутність таких понять як точкова оцінка, інтервальні оцінка, надійність надійний (довірчий) інтервал, рівень значущості. Знати загальний вигляд довірчих інтервалів для математичного сподівання при відомому та невідомому середньому квадратичному відхиленні, для дисперсії. Вміти дати пояснення всіх позначень з формул, а також правила знаходження критичних точок за відповідними таблицями.

Практичні завдання

Задача 1. Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з відомим середнім квадратичним відхиленням і середнім квадратичним відхиленням . Знайти надійний інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання, якщо , а .

Розв’язання

Оскільки середнє квадратичне відхилення відоме, то для знаходження t скористаємося рівністю: . За таблицею значень інтегральної функції Лапласа знаходимо, що t=1.96. Далі, . Підставивши значення, одержуємо 2,72<a<3,68.

Задача 2. Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. По вибірці обсягу n=16 знайдені вибіркова середня і виправлене середнє квадратичне відхилення . Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою інтервалу довір’я з надійністю 0,95.

Розв’язання

З таблиці критичних точок розподілу Стьюдента знаходимо критичну точку . Тоді надійний інтервал . Підставивши числові значення, одержуємо 19,74<a<20,63.

Задача 3. Кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. По вибірці обсягу n=16 знайдене виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти надійні інтервали для дисперсії при надійності .

Розв’язання

Надійний інтервал для дисперсії має вигляд: , де , .

Знаходимо значення . Маємо . . Тоді надійний інтервал матиме вигляд: .

Питання та задачі для самоконтролю:

1. Які оцінки називаються точковими, а які інтервальними?

2. Записати довірчі інтервал для математичного сподівання та дисперсії.

3. За власною вибіркою знайти надійні інтервали для математичного сподівання та дисперсії при рівні значущості

Практичне заняття № 14-15

Тема: Статистичні гіпотези

Мета: Сформувати у студентів уявлення про статистичні гіпотези, навчити обчислювати статистики, знаходити критичні області, застосовувати критерії прийняття нульової та альтернативної гіпотез

План

4. Статистичні гіпотези та їх різновиди. Похибки перевірки гіпотез.

5. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези. Критична область. Критичні точки.

6. Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу генеральної сукупності. Критерій згоди Пірсона.

7. Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей.

8. Порівняння дисперсії нормальної сукупності з гіпотетичним значенням.

Література

3. Мармоза А.Т. Практикум з математичної статистики: Навч. посібник. – К.: Кондор, 2004. – 264с.

4. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1991. – 157 с.:ил.

Методичні рекомендації

При підготовці даної теми вивчити означення таких понять як статистична гіпотеза, нульова гіпотеза, альтернативна (конкуруюча) гіпотеза, статистичний критерій, критична область, область прийняття гіпотези, критична точка. Знати у чому полягають помилки першого та другого роду, які можуть бути зроблені при перевірці гіпотез. Звернути увагу на однобічну (правобічну, лівобічну) та двобічну критичні області, вміти їх будувати на числовій прямій. Вміти знаходити критичні точки за таблицями різних розподілів. Вивчити алгоритми перевірки та умови прийняття нульової гіпотези при різних варіантах альтернативних гіпотез при перевірці таких гіпотез (мати їх конспект в зошитах):

• гіпотеза про нормальний закон розподілу генеральної сукупності (критерій згоди Пірсона);

• порівняння двох дисперсій нормальний сукупностей;

• порівняння дисперсії нормальної сукупності з гіпотетичним значенням;

• порівняння математичних сподівань нормальних генеральних сукупностей з однаковими дисперсіями;

• порівняння математичного сподівання нормальної генеральної сукупності з гіпотетичним математичним сподіванням при відомій ті невідомій дисперсії.

Практичні завдання

Задача 1. При рівні значущості перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, якщо відомі емпіричні і теоретичні частоти

Емпіричні частоти	6	13	38	74	106	85	30	14
Теоретичні частоти	3	14	42	82	99	76	37	13

Розв’язання

Складаємо таблицю для обчислення -критерію.

і
1	6	3	3	9	3	36	12
2	13	14	-1	1	0,07	169	12,07
3	38	42	-4	16	0,38	1444	34,38
4	74	82	-8	64	0,78	5476	66,78
5	106	99	7	49	0,49	11236	113,49
6	85	76	9	81	1,07	7225	95,07
7	30	37	-7	49	1,32	900	24,32
8	14	13	1	1	0,08	196	15,08
	366	366					373,19

Контроль обчислень: - обчислення правильні.

Кількість ступенів вільності: s=8, k=s-3=5. За таблицею критичних точок -розподілу за рівнем значущості і кількістю ступенів вільності k=5 знаходимо . Оскільки , то немає підстав відхилити нульову. Отже, розбіжність емпіричних та теоретичних частот незначуща. Отже, дані спостережень згоджуються з гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Задача 2. За двома незалежними вибірками обсягу вибраним з генеральних сукупностей Х та У, знайдені виправлені вибіркові дисперсії . Перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій при альтернативній гіпотезі а) при рівні значущості ; б) при рівні значущості .

Розв’язання

Знайдемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої: .

а) За таблицею критичних точок розподілу Фішера-Снедекора за рівнем значущості і кількостями ступенів вільності , знаходимо критичну точку . Оскільки , то немає підстав відхиляти нульову гіпотезу про рівність дисперсій генеральних дисперсій.

б) За таблицею критичних точок розподілу Фішера-Снедекора за рівнем значущості і кількостями ступенів вільності , знаходимо критичну точку . Оскільки , то немає підстав відхиляти нульову гіпотезу про рівність дисперсій генеральних дисперсій.

Задача 3. За вибіркою об’єму n=20 знайдено виправлену дисперсію . При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу про рівність дисперсії гіпотетичному значенню при альтернативній гіпотезі а) ; б) ; в) , якщо .

Розв’язання

Обчислимо спостережене значення критерію: .

а) Знаходимо критичні точки за таблицею розподілу: , . Оскільки викону­ю­ть­ся нерівності (критична область двобічна), то немає підстав відхиляти нульову гіпотезу.

б) Знаходимо критичну точку за таблицею розподілу: . Оскільки , то приймаємо нульову гіпотезу.

в) Знаходимо критичну точку за таблицею розподілу: . Оскільки , то приймаємо нульову гіпотезу.

Питання та задачі для самоконтролю:

4. Що таке статистична гіпотеза?

5. В чому полягають помилки першого та другого роду, які виникають при перевірці гіпотез?

6. Що таке критична область, які вони бувають, як їх знайти?

7. За власною вибіркою перевірити такі гіпотези:

• про нормальний розподіл сукупності при рівні значущості

• за двома першими стовпцями вибірки С при рівні значущості перевірити гіпотезу про рівність дисперсій при будь-якій альтернативній гіпотезі (за вибором студента).

Примітка: Якщо теоретичні частоти невідомі, то їх можна обчислити за формулою: , де , де Ф – функція Лапласа, - інтервал, що розглядається, а – середнє вибіркове, - середнє квадратичне відхилення, .