Тема 7: производящая функция
Пусть производится
независимых испытаний, причём в первом
испытании вероятность появления события
равна
,
во втором -
,
… , в
-ом
испытании -
;
вероятности непоявления события
соответственно равны
,
,
… ,
.
Обозначим
- вероятность появления события
в
независимых испытаниях ровно
раз.
Производящей функцией вероятностей называют функцию, определяемую равенством:
.
Вероятность
того, что в
независимых испытаниях, в первом из
которых вероятность появления события
равна
,
во втором -
и т.д., событие
появится ровно
раз, равна коэффициенту при
в разложении производящей функции
по степеням
.
Например, если
,
то
.
Производящую функцию можно применять и для определения вероятностей в схеме Бернулли.
Кроме
того, производящая функция используется
и для определения вероятностей в случае
когда в различных испытаниях появляются
различные события: в первом испытании
событие
,
во втором – событие
и т.д. Изменяется лишь толкование
коэффициентов при различных степенях
.
Например, в приведённом выше разложении
коэффициент
определяет вероятность появления двух
событий
и
.
Задачи для самостоятельного решения:
7.1 Из двух орудий произведён залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятности следующих событий: а) два попадания в цель; б) одно попадание; в) ни одного попадания; г) не менее одного попадания.
7.2
Четыре элемента вычислительного
устройства работают неза-висимо.
Вероятность отказа первого элемента
за время
равна 0,2, второго – 0,25, третьего
– 0,3 и четвёртого – 0,4. Найти
вероятность того, что за время
откажут: а) 4 элемента;
б) 3 элемента; в)
ни один элемент; г) не более
двух элементов.
7.3 Две батареи по 3 орудия каждая производят залп по цели. Цель будет поражена, если каждая из батарей даст не менее двух попаданий. Вероятности попадания в цель орудиями первой батареи равны 0,4; 0,5; 0,6, второй – 0,5; 0,6 и 0,7. Найти вероятность поражения цели при одном залпе из двух батарей.
Подготовка и проведение контрольной работы по теме «случайные события»
Студент знает 20 из 30 вопросов к зачету по теории вероятностей и математической статистике. Оцените его шансы успешно сдать зачет, если для сдачи зачета необходимо знать хотя бы один из двух вопросов билета.
2. Взят кредит на год. Время закупки и доставки товара оценивают от 3 до 5 месяцев, время реализации – от 4 до 8 месяцев. Какова вероятность несвоевременного возврата кредита?
3. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность того, что изделие первого вида будет признано качественным равна 0,9; для изделия второго вида такая вероятность равна 0,7; для изделий третьего вида – 0,5. Изделий каждого вида одинаковое количество. Найти вероятность того, взятое наудачу изделие будет признано качественным.
4. Статистика показывает, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность.
5. У Бабы Яги в избушке живут таракашки – 1000 штук. Кощей Бессмертный подарил бабусе, лично им изобретенное, замечательное средство уничтожения тараканов. Гарантия успешного воздействия Кощеем оценивается весьма высоко – 99,9%. Реально ли выжить трем таракашкам?
Ответы:
1. 0,896; 2. 1/16; 3. 0,7. 4. 0,984; 5. 0,061.
Приложение №1
Значение
функции
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,0 |
0,3989 |
3989 |
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
3982 |
3980 |
3977 |
3973 |
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
3939 |
3932 |
3925 |
3918 |
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
3885 |
3876 |
3867 |
3857 |
3847 |
3836 |
3825 |
0,3 |
3814 |
3802 |
3790 |
3778 |
3765 |
3752 |
3739 |
3726 |
3712 |
3697 |
0,4 |
3683 |
3668 |
3652 |
3637 |
3621 |
3605 |
3589 |
3572 |
3555 |
3538 |
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
3367 |
3448 |
3429 |
3410 |
3391 |
3372 |
3352 |
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
3271 |
3251 |
3230 |
3209 |
3187 |
3166 |
3144 |
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
3056 |
3034 |
3011 |
2989 |
2966 |
2943 |
2920 |
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
2756 |
2732 |
2709 |
2685 |
0,9 |
2661 |
2637 |
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
2516 |
2492 |
2468 |
2444 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
0,2420 |
2396 |
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
2275 |
2251 |
2227 |
2203 |
1,1 |
2179 |
2155 |
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
2036 |
2012 |
1989 |
1965 |
1,2 |
1942 |
1919 |
1895 |
1872 |
1849 |
1826 |
1804 |
1781 |
1758 |
1736 |
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
1582 |
1561 |
1539 |
1518 |
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
1374 |
1354 |
1334 |
1315 |
1,5 |
1295 |
1276 |
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
1182 |
1163 |
1145 |
1127 |
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
1006 |
0989 |
0973 |
0957 |
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
0848 |
0833 |
0818 |
0804 |
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
0707 |
0694 |
0681 |
0669 |
1,9 |
0656 |
0644 |
0632 |
0620 |
0608 |
0596 |
0584 |
0573 |
0562 |
0551 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,0 |
0,0540 |
0529 |
0519 |
0508 |
0498 |
0488 |
0478 |
0468 |
0459 |
0449 |
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
0413 |
0404 |
0396 |
0387 |
0379 |
0371 |
0363 |
2,2 |
0355 |
0347 |
0339 |
0332 |
0325 |
0317 |
0310 |
0303 |
0297 |
0290 |
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
0264 |
0258 |
0252 |
0246 |
0241 |
0235 |
0229 |
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
0208 |
0203 |
0198 |
0194 |
0189 |
0184 |
0180 |
2,5 |
0175 |
0171 |
0167 |
0163 |
0158 |
0154 |
0151 |
0147 |
0143 |
0139 |
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
0126 |
0122 |
0119 |
0116 |
0113 |
0110 |
0107 |
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
0096 |
0093 |
0091 |
0088 |
0086 |
0084 |
0081 |
2,8 |
0079 |
0077 |
0075 |
0073 |
0071 |
0069 |
0067 |
0065 |
0063 |
0061 |
2,9 |
0060 |
0058 |
0056 |
0055 |
0053 |
0051 |
0050 |
0048 |
0047 |
0045 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0 |
0,0044 |
0043 |
0042 |
0040 |
0039 |
0038 |
0037 |
0036 |
0035 |
0034 |
3,1 |
0033 |
0032 |
0031 |
0030 |
0029 |
0028 |
0027 |
0026 |
0025 |
0025 |
3,2 |
0024 |
0023 |
0022 |
0022 |
0021 |
0020 |
0020 |
0019 |
0018 |
0018 |
3,3 |
0017 |
0017 |
0016 |
0016 |
0015 |
0015 |
0014 |
0014 |
0013 |
0013 |
3,4 |
0012 |
0012 |
0012 |
0011 |
0011 |
0010 |
0010 |
0010 |
0009 |
0009 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
3,5 |
0009 |
0008 |
0008 |
0008 |
0008 |
0007 |
0007 |
0007 |
0007 |
0006 |
3,6 |
0006 |
0006 |
0006 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0004 |
3,7 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
3,8 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
3,9 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0001 |
0001 |