Контрольная работа №2. Изучение методов регрессионного анализа(ра)

Цель работы: Приобретение практических навыков решения задач линейного регрессионного анализа экспериментальных данных на ЭВМ.

2.1. Теоретические основы

Регрессионный анализ (РА – это статистический метод исследования зависимости случайной величины y от переменных , которые в регрессионном анализе рассматриваются как неслучайные величины. Предполагается, что условное математическое ожидание зависит от аргументов , а дисперсия постоянна.

Информационной базой РА является выборка из (m+1) - мерной генеральной совокупности объемом n, которая может быть представлена в виде таблицы, в которой индекс i обозначает номер наблюдения.

Таблица 2.1.

I	Y			…
1				…
2				…
…	…	…	…	…	…
I				…
…	…	…	…	…	…
N				…

Наиболее распространена множественная линейная модель регрессии вида

, (1)

где - случайные ошибки наблюдения, независимые между собой, имеющие нулевое среднее, дисперсию и нормальный закон распределения.

Коэффициент регрессии показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y при изменении фактора на одну единицу измерения.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид:

, (2)

где матрица x и векторы и имеют следующую структуру:

; ; .

Процедура построения регрессионной модели состоит из следующих основных этапов: отбор факторов (на этапе корреляционного анализа), оценка параметров модели , проверка значимости параметров модели и уравнения регрессии в целом.

2.1.1. Оценка коэффициентов регрессии

Пусть - вектор наблюдаемых значений результативного признака, Y - вектор значений, результативного признака, полученный с помощью уравнения регрессии Y=X , где - вектор оценок параметров уравнения (2). Наиболее распространенным способом определения параметров модели является метод наименьших квадратов, суть которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений от модельных подбором параметров :

(3)

Решение задачи заключается в подстановке в (3) уравнения регрессии

(4)

с последующим решением системы уравнений

.

Однако, наличие в табличном процессоре функции, реализующих операции над матрицами делает более удобным использование матричной формы метода наименьших квадратов:

(5)

При выводе использовались следующие свойства матричных операций:

Дифференцируя (5) по b, получаем

откуда

. (6)

Таким образом, вычисления вектора оценок в регрессионной модели сводится к выполнению следующих матричных операций:

• транспонированию матрицы

• умножению матрицы

• обращению матрицы

• умножению на матрицу

• умножение на вектор

Зная вектор оценок коэффициентов регрессии b, найдем оценку Y уравнения регрессии:

(7)