13. Билет

1. Дифференциальные уравнения второго порядка, как модель колебательных процессов. Математический маятник.

Для построения модели периодического характера необходимо выявить основные факторы, которые оказывают влияние на изучаемый процесс, и которые необходимо отразить в модели. Общее уравнение: , где - вынуждающая функция, k – коэффициент трения, p – коэф. Пр.: Модель «хищник-жертва» Пусть Х – хищники, Y - жертвы. Определяем основные факторы, влияющие на воспроизводство хищников и жертв:

af - смертность среди хищников bf - рождаемость хищников cyf - воздействия внешней среды cf - рожденные жертв df - численность съеденной популяции ef - рождаемость жертв

Составляем систему уравнений, характеризующих численность и тех и других на определённый период времени и получаем модель:

Решаем систему с помощью метода Рунге-Кутта. В результате строим графики динамики численности хищников и жертв за период времени t.

Математи́ческий ма́ятник — гармонический осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Уравнение математического маятника без затухания (т.к. справа 0): , где w-собственная частота гармонического осциллятора. Уравнение вида - математический маятник с трением, где k – коэф. трения. Уравнение вида - с вынуждающей функцией.

Общее решение математического маятника: , с₁, с₂ – постоянные интегрирования. Пр.: При , -> и .

Приближённое решение математического маятника: Условие:

Пусть , где -трение маятника о воздух, или толчок маятника рукой. Пусть , тогда .

Получаем систему:

2. Частное определение: определение характерного масштаба процесса.

Характерные масштабы времени и длины для каждой кинетической стадии определяются выражениями.В соответствии с этими тремя характерными масштабами времени различаются три стадии неравновесной системы, начиная с произвольных начальных условий и кончая состоянием, близким; к равновесию.Это явление также не имеет характерного масштаба времени, так как является атрибутивным свойством акустического поля. Для конкретных систем возможны случаи, когда характерные масштабы времени существенно различны. Это обычно является основанием пренебречь той стадией кинетики, для которой характерный масштаб времени является минимальным.

14. Билет

1. Задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Физический смысл начальных условий. Пример на схеме метода Эйлера

З адача Коши - задача нахождения частного решения уравнения, соответствующего начальным условиям y(x₀)=y₀ .

Если дифференциальное уравнение n-ого порядка:

тогда задача Коши состоит в нахождении решения y=y(x), удовлетворяющего начальным условиям у (х₀) = у₀, у' (х₀) = у₁, у'' (х₀) = у₂, …, у ^(n-1) (х₀) = у_n1.

Задача требует, чтобы мы искали не все решения, а только те, кот удовлетворяют уравнению. Решение уравнения у' = f(x, y) существует и единственно. Для этого достаточно, чтобы функция f(x,y) в правой части уравнения была непрерывна в рассматриваемой области по обоим аргументам и имела ограниченную частную производную.