Лекция 5

Приведение системы сил к заданному центру.

Основная теорема статики

Лемма Пуансо

Равнодействующая системы сходящихся сил находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку. Такой метод дает лемма Пуансо.

Сил а , приложенная в точке О1, эквивалентна геометрически равной ей силе в точке О и паре сил с моментом, равным моменту силы относительно точки О. Пусть сила приложена в точке О1. Действие этой силы не изменяется, если в точке О приложить две уравновешенные силы, равные по модулю F. Полученная система трех сил представляет собой силу равную , но приложенную в точке О и пару с моментом .

Операция замены силы силой и парой сил называется приведением силы к заданному центру. Возникающая пара сил называется присоединенной.

Основная теорема статики

Применяем теорему Пуансо к произвольной системе сил. Пусть точка О – центр приведения.

1) Выполняем параллельный перенос всех сил в точку О и получаем ССС. Находим геометрическую сумму всех сил - главный вектор СС.

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

.

2) В точке О прикладываем вектор-моменты всех сил, равные моментам всех присоединенных ПС, и получаем вторую систему сходящихся векторов. Выполняем операцию геометрического сложения и находим главный момент СС относительно центра приведения.

Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Основная теорема статики. Произвольная система сил при приведении к выбранному центру О эквивалентна одной силе, равной главному вектору системы сил, и одной паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно центра приведения.

Операция приведения к центру называется приведением СС к простейшему виду.

Определение главного вектора и главного момента системы сил

Главный вектор и главный момент определяются в декартовых координатах с помощью проекций: , .

Проекции векторов на оси координат:

, ,

,

,

.

Формулы для вычисления модуля и направляющих косинусов главного вектора и главного момента

Условия равновесия системы сил

1. Геометрическая форма

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил и главный момент системы сил относительно любого центра приведения были равны нулю.

, .

2. Аналитическая форма

= 0, = 0.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) .

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей. а также суммы моментов всех сил относительно тех же осей были равны нулю.

Частные случаи

Любая система сил может быть рассмотрена как частный случай произвольной пространственной СС.

1) Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил (рис.а)

Тождественно удовлетворяется условие . Тогда аналитические условия равновесия ССС имеют вид:

1) , 2) , 3) ,

2) Условия равновесия пространственной системы параллельных сил (рис.б)

На тело действует система сил параллельных оси Oz. Тождественно удовлетворяются условия : , , .

Тогда аналитические условия равновесия ССС имеют вид:

1) , 2) , 3) .

3) Условия равновесия произвольной плоской системы сил (рис.в)

Система сил расположена в плоскости XOY. Тождественно удовлетворяется условия: , , и аналитические условия равновесия имеют вид:

1) , 2) , 3) .