Критерії надійності відновлюваних систем

Для відновлюваних систем визначають такі критерії:

– середній час роботи між відмовами (середній наробіток на відмову);

– середній час відновлення;

– параметр потоку відмов.

Середнім часом роботи між відмовами є математичне сподівання величини наробітку між сусідніми відмовами або відношення середнього сумарного наробітку до середньої кількості відмов за умови тривалого терміну роботи об’єкта. Статистичну оцінку цього показника визначають за формулою

,

де – сумарний наробіток і-го об’єкта або тривалість роботи і-го об’єкта після (к-1)-го відновлення до к-ї відмови за умови, що випробування проводяться за умови відновлення об’єктів, що відмовили, або їх заміни. За такої організації випробувань загальна кількість випробуваних об’єктів залишається незмінною.

Середнім часом відновлення є математичне сподівання тривалості відновлення або відношення середньої сумарної тривалості відновлення до середньої кількості відновлень за умови тривалого функціонування об’єкта. Статистичну оцінку цього показника визначають за формулою

де – кількість об’єктів, поставлених на випробування або кількість спостережень за одним і тим самим об’єктом, – тривалість відновлення і-го об’єкта або тривалість і-го відновлення одного і того ж об’єкта.

Параметром потоку відмов є відношення кількості відмов об’єкта на деякому малому відрізку часу до довжини цього відрізка. Отже, статистично цей показник визначається за формулою

,

де – кількість відмов на інтервалі наробітку довжиною – кількість об’єктів, поставлених на випробування.

Якщо об’єкт відновлюється або замінюється іншим миттєво, то параметр потоку відмов та щільність розподілу часу безвідмовної роботи пов’язані рівнянням виду

Основні закони розподілу, використовувані теорією надійності

Наробіток між сусідніми відмовами є неперервною випадковою величиною, яка характеризується певним законом розподілу.

Для експоненціального (показникового) закону

, , ,

де – параметр розподілу.

Цей закон застосовують до об’єктів, для яких можна знехтувати процесами старіння.

Нормальний закон визначається щільністю

де та є параметрами зрізаного нормального розподілу.

Коефіцієнт визначають з умови нормування

,

звідки

Тут – нормована функція Лапласа (непарна), значення якої табульовані (див. дод.5).

Імовірність безвідмовної роботи для цього закону розподілу

Цей розподіл зазвичай має місце, якщо на зміну випадкової величини впливають приблизно рівнозначні фактори. Його часто застосовують, коли відмови є переважно поступовими.

Розподіл Вейбулла теж має два параметри – та . Він характеризується щільністю

Параметр є параметром форми, а параметр – параметром масштабу.

Якщо , розподіл Вейбулла перетворюється на експоненціальний, причому . При розподіл стає близьким до нормального.

Залежність між показниками надійності для цього розподілу мають вид:

, ,

де – гамма-функція.

Розподіл Вейбулла може використовуватись для об’єктів на етапі приробу. Він добре описує наробіток деталей, для яких характерні утомні руйнування.