Глава 2

2 Надійність неремонтуємих об’єктів

2.1 Показники надійності неремонтуємих об’єктів

Неремонтовані об'єкти працюють до першої відмови. Для оцінки їх надійності використовують імовірнісні характеристики випадкової величини - наробітку до відмови. Під наробітком розуміють тривалість або обсяг роботи об'єкта, вимірювані в годинах, кілометрах, гектарах, циклах, кубометрах або в інших одиницях. Коли наробіток виражають в одиницях часу, іноді використовують термін «час безвідмовної роботи» або, що те ж саме, «час до виникнення відмови».

Повною характеристикою будь-якої випадкової величини є її закон розподілу, тобто співвідношення між можливими значеннями випадкової величини й відповідними до цих значень імовірностями. Розподіл наробітку до відмови може бути описаний за допомогою різних показників надійності неремонтованих виробів. До таких показників належать:

Функція надійності P(t)

Щільність розподілу наробітку до відмови f(t)

Інтенсивність відмов λ(t)

Функцією надійності називають функцію, що виражає ймовірність того, що — випадковий наробіток до відмови об'єктів — буде більше заданої наробітку , відлічуваної від початку експлуатації, тобто

Перелічимо деякі очевидні властивості P(t):

• P(0)=1, тобто можна розглядати безвідмовну роботу лише тих об'єктів, які були працездатні в момент включення;

• є монотонно спадаючою функцією заданого наробітку t;

• при , тобто будь-який об'єкт згодом відмовить.

Рис. 2.1. Функція надійності P(t) і ненадійності Q(t) об'єкта

Поряд з функцією P(t) використовується й функція ненадійності Q(t).

Вона характеризує ймовірність відмови об'єкта на інтервалі (0,t). Функція ненадійності є функцією розподілу випадкової величини T ця функція іноді позначається F(t).

На мал. 2.1 наведені графіки однієї з можливих функцій надійності P(t) і відповідної функції Q(t).

У багатьох завданнях у якості показника надійності використовується ймовірність безвідмовної роботи ( імовірність того, що в межах заданого наробітку не виникає відмови об'єкта. При цьому звичайно мають на увазі умовну ймовірність P(t₁,t₂) безвідмовної роботи протягом наробітку від t₁ до t₂ за умови, що при t₁ об'єкт був працездатним. Цю умовну ймовірність можна визначити по функції надійності.

Розглянемо два інтервали (0,t₁) і (t₁,t₂) . Подія, що полягає в безвідмовній роботі протягом інтервалу (0,t₁) , є сполученням двох подій:

1. об'єкт безвідмовно працював на інтервалі (0,t₁);

2. що залишись працездатним до моменту t₁ об'єкт безвідмовно проробив на інтервалі (t₁,t₂).

Тому згідно із правилом множення ймовірностей

отже,

Таким чином, умовна ймовірність безвідмовної роботи на інтервалі (t₁,t₂) дорівнює відношенню значень функції надійності на початку й кінці інтервалу.

Надійність малих неремонтованих об'єктів не завжди зручно характеризувати ймовірністю безвідмовної роботи, тому що для невеликих періодів заданого наробітку значення P(t₁,t₂) будуть близькими до одиниці. Наприклад, імовірність безвідмовної роботи слюдяного конденсатора протягом 1 год рівна 0,9999999. Тому поряд з P(t) використовуються й інші показники надійності, наприклад щільність розподілу наробітку до відмови:

Щільність розподілу наробітку до відмови f(t) є диференціальною формою закону розподілу наробітку до відмови. Щільність f(t) є завжди позитивною функцією, причому

Графік f(t) часто називають «крива розподілу наробітку до відмови».

Як видне з рис. 2.1, функція надійності й функція ненадійності пов'язані з f(t) наступними співвідношеннями:

Величина характеризує ймовірність відмови за інтервал наробітку об'єкта, узятого навмання з безлічі однакових об'єктів. При цьому невідомо, чи працездатний цей об'єкт до початку інтервалу ( тобто в момент t) або відмовив раніше. Це не завжди зручно на практиці, і f(t) як самостійний показник надійності неремонтованих об'єктів знаходить обмежене застосування. Частіше застосовують інтенсивність відмов λ(t) - умовну щільність імовірності виникнення відмови неремонтованого об'єкта, обумовлену для розглянутого наробітку за умови, що до цього наробітку відмова не виникла. Інтенсивність відмов можна розглядати як відносну швидкість зменшення значень функції надійності зі збільшенням інтервалу (0,t). Щоб пояснити зміст цієї характеристики, проведемо наступні міркування.

Уведемо, що добре узгодиться із практикою припущення про те, що ймовірність появи двох і більш відмов за нескінченно малий інтервал наробітку спадаєає швидше, ніж довжина цього інтервалу, тобто є нескінченно малої більш високого порядку, ніж . Іншими словами, якщо є група однакових об'єктів, то ймовірність того, що в ту саму мить відмовить відразу кілька однакових об'єктів, дуже мала. Таким чином, з розгляду виключаються такі явища, як катастрофи й стихійні лиха. Розглянемо два суміжні інтервали наробітку і . Щоб деякий об'єкт мав можливість відмовити в інтервалі наробітку , він повинен безвідмовно працювати протягом . Згідно із правилом множення ймовірностей відмови обьекта в протягом наробітку

Де — імовірність безвідмовної роботи об'єкта протягом наробітку , тобто значення функції надійності; — умовна ймовірність відмови об'єкта за малий наробіток , знайдена в припущенні, що він безвідмовно проробив інтервал .

Умовну ймовірність відмови об'єкта протягом наробітку у припущенні його безвідмовної роботи до моменту t звичайно виражають формулою

де λ(t) - інтенсивність відмов.

Таким чином, при використанні величини λ(t) розглядаються, тільки ті, що залишаються працездатними до моменту t об'єкти, а ті, що відмовили виключаються з розгляду.

З формул (2.2) і (2.3) одержуємо

Розв'язок рівняння (2.4) при початковій умові P(0)=1 дозволяє одержати для функції надійності формулу

При формула (2.5) суттєво спрощується:

Імовірність безвідмовної роботи протягом наробітку (t₁,t₂) об'єкта, який був працездатним до початку цього інтервалу,

При λ=const імовірність безвідмовної роботи протягом наробітку (t₁,t₂) не залежить від віку об'єкта:

Де t’=t₂-t₁

При λt’<<1 звичайно вважається exp (-λt’) _͌ 1- λt’

У якості показників надійності неремонтованих виробів застосовують також числові характеристики випадкового наробітку до відмови. Їх звичайно легше визначити за експериментальним даними, чому . Найбільше часто використовуютьсередній наробіток до відмови (математичне очікування наробітку до відмови).

Згідно з визначенням математичного очікування безперервної не негативної випадкової величини середній наробіток до відмови

де F9t)- функція розподілу випадкової величини T. Інтегруючи по частинах останній вираз, одержуємо

Перший доданок у цій рівності

Це можна пояснити наступними міркуваннями, якщо не негативна випадкова величина T має кінцеве математичне очікування, тобто інтеграл =сходиться, то інтеграл →0 при y→∞

Оскільки

те при y→∞

Отже,, і середній наробіток до відмови

Таким чином, середній наробіток до відмови чисельно дорівнює площі під кривою P(t)(рис. 2.2).

При λ=const

Підставивши у формулу (2.9) значення t=m_t=1/ λ, одержимо, що при λ=const середній наробіток до відмови можна розуміти як наробіток t=m_t, протягом якої об'єкт залишається працездатним з імовірністю P(m_t) = exp(-1) _͌ 0,37.

Значення mt звичайно обчислюються за експериментальним даними про відмови елементів у початковий період їх експлуатації. Тому mt можна розуміти як середній наробіток до відмови, яка мала б місце в дійсності, якби елемент зберігав протягом усього періоду використання ту інтенсивність відмов, якої він мав у початковий період експлуатації або на випробуваннях.

На практиці становлять інтерес два умовні середні наробітки неремонтованих об'єктів:

1) середній корисний наробіток m* за умови, що при досягненні наробітку m* усі працездатними об'єкти, що залишилися, знімаються з експлуатації;

2) середня тривалість m⁺ майбутньої роботи за умови, що об'єкт безвідмовно працював на інтервалі (0,t).

Рис. 2.2. Графіки для обчислення умовних середніх наробітків: a - корисний середній наробіток m*; б - середня тривалість майбутньої безвідмовної роботи m⁺.

При обчисленні середнього корисного наробітку m_t1* урахуємо, що p(t)*100 об'єктів безвідмовно пророблять інтервалі (0,t), інші відмовлять на цьому інтервалі.

Згідно з визначенням математичного очікування

Інтегруючи gj xfcnbyf[, одержуємо

Обчисливши умовну середню тривалість майбутньої безвідмовної роботи, одержимо

Де p(t|t₁)  умовна ймовірність безвідмовної роботи протягом (t₁,t) наробітку за умови, що при t₁ об'єкт працездатний. Відповідно до формули (2.1).

Тому

Підставляючи формулу (2.12) у формулу (2.11) і інтегруючи вроздріб, одержуємо:

Враховуючи формули (2.9), (2.10) і (2.13), знаходимо співвідношення між середніми наробітками

Це співвідношення ілюструє мал. 2.3.

При/маємо

При оцінці параметричної, тобто по поступових відмовах, надійності доцільно враховувати стратегію замін розглянутих об'єктів. По першій стратегії проводяться індивідуальні заміни, тобто кожний конкретний об'єкт із безлічі однакових експлуатується до відмови. У цьому випадку використовують розглянуті раніше показники надійності.

При другій стратегії (групові заміни) експлуатація всіх об'єктів даного типу припиняється при досягненні призначеного ресурсу (заданого сумарного наробітку). Протягом призначеного ресурсу повинні практично бути відсутні параметричні відмови через старіння, зношування й інших причин. Інакше кажучи, призначений ресурс повинен бути менше наробітку t_н до початку масових параметричних відмов.

Можливі різні визначення t_н . Найбільш загальне полягає в тому, що величина t_н дорівнює сумарному наробітку від початку експлуатації, при якій щільність розподілу f(t) = λ(t) уперше досягає критичного значення f(t)_кр = λ(t) _кр. При цьому неявно враховується відомий з досвіду експлуатації факт: для параметричних відмов через старіння, зношування й інших нестаціонарних процесів при t=0завжди f(0) = λ(0)=0.

Оскільки розподіл наробітку до появи параметричної відмови звичайно є унімодальним, те величину f(t)_кр = λ(t) _кр зручно задавати в долях від значення щільності розподілу в точці моди f(t_м) , наприклад, f_кр=0,01f(t_м).