8.5. Приведение некоторых функциональных зависимостей

к линейному виду

При малых объемах выборки увеличение порядка полинома может иногда приводить к росту остаточной дисперсии. Чтобы избежать этого, при решении многих задач производят замену переменных. Например, зависимости типа

или (8.36)

сводятся к линейным следующим образом:

, (8.37)

. (8.38)

Коэффициенты уравнений (8.37) и (8.38) находятся методом наименьших квадратов.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся случаи линеаризации зависимостей при обработке результатов физико-химичес-ких экспериментов.

1. Температурная зависимость контанты равновесия реакции для небольшого интервала температур имеет вид

, (8.39)

где S и Н — энтропия и энтальпия реакции. Непосредственно измеряемыми величинами являются константа равновесия K и температура T. Произведем замену переменных:

, где .

Коэффициенты b₀ и b₁ определяются методом наименьших квадратов.

Энтальпия и энтропия реакции с учетом случайных ошибок равны

,

.

2. Температурная зависимость давления насыщенного пара вещества в узком интервале температур имеет вид

, (8.40)

где а — константа, Н —энтальпия парообразования (испарения или сублимации). Непосредственно определяемыми величинами являются давление насыщенного пара Р и температура T. Произведем замену переменных:

, где .

Энтальпия парообразования с учетом случайной ошибки равна

.

3. Константа скорости реакции первого порядка описывается следующим уравнением:

, (8.41)

или

,

где k — константа скорости реакции, С₀ и С — исходная и текущая концентрация реагирующего вещества к моменту времени t соответственно. Произведем замену переменных:

, где .

Определив коэффициент b₁ методом наименьших квадратов, получим значение константы скорости реакции с учетом случайной ошибки:

.

8.6. Метод множественной корреляции

На практике часто бывает необходимым исследовать корреляционную связь между многими (а не только двумя) величинами. В случае, когда необходимо установить зависимость величины Y от более чем одного параметра, обычно используют уравнения множественной регрессии следующего вида

. (8.42)

Коэффициенты уравнения находят методом наименьших квадратов, т. е. определяют из условия

, (8.43)

где . Условия минимума функции S следующие:

. (8.44)

Коэффициенты уравнения приближенной регрессии находят из решения системы (k + 1) нормальных уравнений, полученных из условий (8.44).

Рассмотрим случай, когда величина Y линейно зависит от двух переменных X₁ и X₂. Пусть из опытов получена выборка точек (x_1i, x_2i, y_i) объемом n. Найдем методом наименьших квадратов коэффициенты линейного уравнения регрессии

. (8.45)

Тогда

. (8.46)

Система нормальных уравнений, соответствующих условиям (8.44), принимает следующий вид:

,

, (8.47)

.

С учетом того, что и значений частных производных (8.46), после арифметических преобразований получаем

,

, (8.48)

.

Решая полученную систему уравнений относительно b₀, b₁ и b₂, находим наилучшую аппроксимацию для соотношения (8.45). Силу линейной связи между переменными Х₁ и Х₂ можно оценить на основании выборочного коэффициента корреляции

. (8.49)