Лекция 10
Планирование эксперимента при дисперсионном анализе. Постановка задачи при планировании экстремальных экспериментов. Полный факторный эксперимент типа 22: матрица планирования, вычисление коэффициентов уравнения регрессии.
10.1. Планирование эксперимента при дисперсионном анализе
При двухфакторном дисперсионном анализе минимальное число опытов (в условиях линейной модели), обеспечивающее перебор всех возможных сочетаний уровней факторов, определяется произведением числа их уровней: N = km. Подобный эксперимент называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если изучается влияние на процесс k факторов при одинаковом числе уровней n, то необходимое число опытов при ПФЭ равно
. (10.1)
Так, если k = 2 и n = 3 (табл. 3, лекция 9), то N = 32 = 9.
Эксперимент, в котором пропущены некоторые сочетания уровней, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). Сокращение числа опытов неизбежно приводит к потере части информации, при этом обычно пренебрегают эффектами взаимодействия факторов.
Рассмотрим трехфакторный дисперсионный анализ при одинаковом числе уровней n для каждого фактора. Пусть n = 2. Тогда при ПФЭ потребуется провести N = 23 = 8 опытов (табл. 4).
Таблица 4
Полный факторный эксперимент 23
Уровни факторов |
а1 |
а2 |
||
b1 |
b2 |
b1 |
b2 |
|
c1 |
*y111 |
y121 |
y211 |
*y221 |
c2 |
y112 |
*y122 |
*y212 |
y222 |
При отсутствии параллельных опытов результаты наблюдений можно представить в виде линейной модели
, (10.2)
при этом линейные эффекты оказываются смешанными с эффектами взаимодействия: эффект А с ВС взаимодействием, эффект В с АС взаи-модействием, эффект С с АВ взаимодействием. Однако число опытов в условиях линейной модели можно существенно сократить при использовании ДФЭ, спланированного по схеме латинского квадрата.
Латинским квадратом n x n называют квадратную таблицу, составленную из n элементов (чисел или букв) таким образом, чтобы каждый элемент повторялся в каждой строке и каждом столбце только один раз. Из двух элементов образуется латинский квадрат 2 x 2:
или
; (10.3)
из трех — латинский квадрат 3 x 3:
или
. (10.4)
Стандартными латинскими квадратами называются квадраты, у которых первые строка и столбец построены или в алфавитном порядке, или в порядке натурального ряда (квадраты (10.3) и (10.4)). Получены эти квадраты путем одношаговой циклической перестановки.
При ДФЭ по схеме латинского квадрата вводится в планирование третий фактор, при этом основой служит ПФЭ типа n2. Так, при n = 2 на ПФЭ типа 22 (для факторов А и В) накладывается латинский квадрат 2 x 2 (табл. 5). План эксперимента, соответствующий табл. 5, называется матрицей планирования и представлен в табл. 6. Число опытов при этом сокращается до четырех вместо восьми при ПФЭ.
Таблица 5
2 X 2 латинский квадрат
А |
В |
|
b1 |
b2 |
|
a1 |
c1 |
c2 |
a2 |
c2 |
c1 |
Хотя латинский квадрат 2 x 2 является частью плана, всю табл. 5 также называют латинским квадратом. В нем каждый элемент повторяется только один раз в каждой строке и каждом столбце, что в равной степени сказывается при подсчете средних по строкам и столбцам. Приведенный в табл. 6 план представляет собой половину — полуреплику от ПФЭ типа 23 (вошедшие в полуреплику опыты отмечены в табл. 4 звездочками).
Таблица 6