6. Практические и семинарские занятия

1. Прикладные возможности первичной обработки информации (4 часа)

1.1. Необходимость и возможность проверки гипотез в статистическом анализе. Виды критериев. Параметрические критерии. Значение функции правдоподобия при проверке гипотез. четыре возможных исхода. Уровень значимости.

1.2. Четыре вида альтернативных гипотез и их графическая интерпретация. Алгоритм проверки статистических гипотез. Прием последовательного анализа. Критерий Вальда. Непараметрические критерии. Критерий знаков. Критерий К. Пирсона ².

2. Прикладные возможности многофакторного статистического анализа (8 часов)

2.1. Задачи, решаемые с помощью корреляционного анализа.

2.2. Задачи, решаемые с помощью регрессионного анализа.

2.3. Задачи, решаемые с помощью дисперсионного анализа.

2.4. Анализ распространенных ошибок.

3. Планирование эксперимента (12 часов)

3.1. Плана однофакторного эксперимента для дисперсионного анализа.

3.2. Выявление влияния фактора с помощью дисперсионного анализа.

3.3. Неполноблочный сбалансированный план двухфакторного четырехуровневого эксперимента.

3.4. Модели и планы трехфакторного четырехуровневого эксперимента.

3.5. План трехфакторного двухуровневого эксперимента

3.6. План трехфакторного двухуровневого эксперимента

7. Методические указания

К ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

К № 1. Требуется разработать контрольную карту средних значений контролируемого параметра , определяемых по данным N = 5 замеров, для текущего контроля качества технологического процесса. Нижнюю и верхнюю контрольные границы определить по значениям соответствующих уровней значимости (вероятностей ошибок I рода в нижнюю и верхнюю стороны): ^– = 0,11 и ⁺ = 0,105. Номинальное значение контролируемого параметра составляет: a = 0,0450, а среднее квадратическое отклонение: .

В основе разработки контрольных карт ([2] § 5.8) для лежат доверительные интервалы с опорной точкой в a и определяемые заданной доверительной вероятностью :

.

Преобразуем это выражение, вычтя из всех трех частей неравенства величину a и поделив полученное на :

.

В нашем несимметричном случае, когда заданы вероятности ошибок в каждую сторону, следует строить доверительный интервал из двух неравных частей:

и ,

где ^– + ⁺ = . Вероятность ошибки I рода в нижнюю сторону представляет собой вероятность непопадания в левый доверительный полуинтервал ^– = 0,5 – ^–, откуда ^– = 0,5 – ^– = 0,39. Аналогично: ⁺ = 0,5 – ⁺ = 0,395.

Как известно ([2] § 5.4), выборочная функция распределена по нормированному нормальному закону, что позволяет для вычисления вышеуказанных вероятностей попадания в интервал использовать функцию Лапласа, таблица которой приведена в разделе 8. С помощью этой таблицы по известным значениям функции (вероятностям ^– = 0,39 и ⁺ = 0,395) найдем значения аргумента (крайних значений интервала):

и .

Отсюда, вычисляя ^– и ⁺, определяем контрольные границы:

,

.

Таким образом, средняя величина 5 замеров контролируемого параметра должна удовлетворять условию:

.

К № 2. Требуется определить необходимый объем летных испытаний для решения вопроса о возможности эксплуатации самолета на аэродроме с располагаемой посадочной дистанцией L_а/д. Допускается погрешность до  = 50 м и вероятности: ошибочного отвергания возможности эксплуатации до  = 0,1 % и ошибочного принятия – до  = 0,01 %. В качестве значения среднеквадратического отклонения величины единичной посадочной дистанции принять  = 50 м.

I способ – с помощью одностороннего доверительного интервала ([2] § 7.3). Так как отклонения значений посадочной дистанции в меньшую сторону для целей нашей практической задачи несущественны, то достаточно построить односторонний доверительный интервал: от – до L_а/д. Не входящая в него часть числовой оси правее L_а/д представляет собой область риска принять неверное решение. Т.е. вероятность попадания истинного значения посадочной дистанции в эту область не должна превышать  = 0,1 %. В предположении, что центр распределения находится левее L_а/д на 50 м: a₀ = L_пос = L_а/д – , среднее арифметическое значение посадочных дистанций при N посадках должно удовлетворять условию:

После простых преобразований дополнительная к этой вероятность:

с помощью таблицы функции Лапласа (см Приложение) по значению функции 0,499 дает значение аргумента:

Таким образом, при этом способе оценки объема эксперимента необходимо произвести 10 посадок.

II способ – с помощью альтернативной гипотезы вида: H₁: a = a₁.

Проанализируем требование точности. Заданная погрешность  = 50 м может интерпретироваться, как величина уверенного (с некоторой вероятностью) различения двух значений L_пос. Тогда в качестве a₁ и a₀ следует рассматривать значения, различающиеся на эту величину: a₁ = a₀ + .

Погрешность  = 50 м, рассматриваемая как расстояние между центрами двух однотипных распределений, выразится суммой расстояний по оси абсцисс до границы критической области x^* от центров a₁ и a₀, т.е. суммой величин:

.

Тогда, исключая x^*, можно получить выражения для необходимого объема эксперимента N:

.

Расчеты для рассматриваемого примера дают: по таблице функции Лапласа (см. Приложение) u_0,5– = 3,09, u_0,5– = 3,72, откуда N > 46,38. Т.е. на практике следовало бы по результатам 47 посадок вычислить среднюю величину посадочной дистанции и принять ее в качестве a₀, выдвинув тем самым гипотезу H₀: a = a₀. Если вычисленная после этого граница критической области x^* окажется правее полученной величины и левее L_а/д, то не будет оснований отвергать гипотезу H₀, т.е. можно разрешить эксплуатацию нового типа самолета на данном аэродроме.

К № 3. Требуется построить дробный план 2^4–1 четырехфакторного двухуровневого эксперимента.

Для построения дробного плана 2^f–k f-факторного эксперимента можно взять полный план (f–k)-факторного эксперимента и добавить k столбцов любых взаимодействий (парных, тройных и т.д.). Такая конструкция обеспечивает ортогональность ([2] § 7.6), т.е. возможность определения всех коэффициентов линейной регрессии.

Полный план можно составлять, руководствуясь следующим правилом, обеспечивающим полный перебор всевозможных комбинаций двух уровней основных факторов (кроме фиктивного x₀, который присутствует во всех опытах). В первом столбце знаки меняют через один. Во втором знаки встречаются парами, т.е. чередуются через 2. В третьем – четверками, чередуясь через 4. Далее, если необходимо – через следующие степени 2. Построенный по этому правилу полный план всегда обладает свойствами симметричности и ортогональности, что проверяется непосредственно.

В таблице 1 показан составленный по этому правилу полный план 2³ трехфакторного двухуровневого эксперимента.

Для построения дробного плана 2^4–1 четырехфакторного эксперимента достаточно добавить к этому плану один столбец взаимодействия, например, x₄ = x₁x₂, составив его из произведений соответствующих уровней факторов x₁ и x₂. Итоговый дробный план 2^4–1 четырехфакторного двухуровневого эксперимента приведен в таблице 2.

Таблица 2.

№ опыта	x0	x1	x2	x3	x4
1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	–1	+1	+1	–1
3	+1	+1	–1	+1	–1
4	+1	–1	–1	+1	+1
5	+1	+1	+1	–1	+1
6	+1	–1	+1	–1	–1
7	+1	+1	–1	–1	–1
8	+1	–1	–1	–1	+1

Таблица 1.

№	Факторы
опыта	x1	x2	x3	x4
1	+1	+1	+1	+1
2	+1	–1	+1	+1
3	+1	+1	–1	+1
4	+1	–1	–1	+1
5	+1	+1	+1	–1
6	+1	–1	+1	–1
7	+1	+1	–1	–1
8	+1	–1	–1	–1
		 план