10.4. Лабораторная работа № 3
Дисперсионный анализ результатов измерений
Цель лабораторной работы: проведение дисперсионного анализа результатов дефектоскопии размера трещины с целью выявления ее роста в течение срока эксплуатации.
Теоретические основы
После обнаружения трещины в некотором силовом элементе планера самолета проводятся плановая ее дефектоскопия после каждых 2 посадок. В данной лабораторной работе таких плановых работ проводится 9 (m = 9). Каждый раз замеры трещины проводятся 5-кратно (все Ni = n = 5) для определения среднего значения. Результаты приводятся к начальному размеру трещины, т.е. фиксируются относительные значения роста трещины.
Для эксплуатации ЛА важно знать, растет ли со временем трещина. Если роста сверх допустимого размера нет, то эксплуатация безопасна. Если рост заметен, то при достижении трещиной определенного размера необходимо проводить ремонтные работы. Непосредственно по результатам замеров установить факт роста трещины на практике чрезвычайно трудно. Это объясняется значительной погрешностью приборов и слабой скоростью развития трещины. Поэтому необходимо проведение статистического анализа.
Дисперсия некоторого
объема данных характеризует разброс,
"размазанность" значений вокруг
среднего. Поэтому выявление факта
зависимости результатов такого
однофакторного эксперимента от
исследуемого фактора (числа посадок)
осуществляется с помощью дисперсионного
анализа. Для этого результаты замеров
располагают в виде матрицы
,
где каждая строка соответствует
определенному циклу замеров (после 2,
после 4 и т.д. посадок), а номер позиции
в строке соответствует порядковому
номеру единичного замера из 5 в цикле.
По элементам этой матрицы рассчитываются частные дисперсии: МЕЖГРУППОВАЯ, отражающая разброс средних (по циклам замеров) экспериментальных данных между собой из-за влияния исследуемого фактора:
,
и ОСТАТОЧНАЯ, отражающая разброс результатов единичных опытов вокруг средних по циклам экспериментальных данных каждого цикла, обусловленная неконтролируемой погрешностью эксперимента:
.
Оценку значимости исследуемого фактора (времени эксплуатации) получают с помощью критерия Фишера для сравнения двух дисперсий при заданном уровне значимости :
– если межгрупповая дисперсия ЗНАЧИМО БОЛЬШЕ остаточной:
,
то влияние фактора существенно и его необходимо учитывать;
– если межгрупповая дисперсия ЗНАЧИМО МЕНЬШЕ остаточной:
,
то влияние фактора несущественно и им можно пренебречь;
– в остальных случаях, когда нельзя говорить о ЗНАЧИМОМ превосходстве одной из дисперсий над другой, влияние исследуемого фактора сравнимо с погрешностью эксперимента или влиянием неучтенных факторов, поэтому конкретный вывод невозможен.
На рис. 2 показаны примеры различных случаев экспериментальных данных, характеризующихся различными соотношениями дисперсий. По оси абсцисс отложены лишь номера уровней исследуемого входного фактора, но не его физическая величина – так обычно строятся исследования в дисперсионном анализе, чтобы не привносить лишней информации.
Основываясь лишь на зрительном восприятии этого рисунка, нельзя сказать, существует ли зависимость функции, отложенной по ординате, от параметра, отложенного по абсциссе. Этого нельзя сказать даже в том случае, если расположить очередность уровней исследуемого входного фактора в порядке возрастания частных средних, соответствующих этим уровням, которые на рисунке обозначены кружочками и соединены сплошной линией. Несмотря на это дисперсионный анализ позволяет сделать достаточно уверенный вывод о влиянии исследуемого входного фактора на выходной.
а
б в
Рис. 2.
В случае "а" бóльшая дисперсия –
остаточная (внутренняя):
,
что свидетельствует о значительном
влиянии неучтенных факторов, которые
"забивают" возможную зависимость
от исследуемого входного фактора. В
этих условиях естественно считать эту
зависимость несущественной.
В случае "б" больше уже межгрупповая
дисперсия, но отношение дисперсий не
достигает критического значения по
критерию Фишера:
,
следовательно, сделать уверенный вывод
о влиянии или невлиянии исследуемого
входного фактора нельзя.
В случае "в" межгрупповая дисперсия
не только больше, но и значимо больше
остаточной:
,
поэтому необходимо сделать вывод о
существенности влиянии исследуемого
входного фактора.
Значимое превосходство одной из дисперсий определяется с помощью таблицы распределения Фишера, в которой приведены критические значения ОТНОШЕНИЯ БОЛЬШЕЙ ДИСПЕРСИИ К МЕНЬШЕЙ для уровня значимости 0,01 и двух чисел степеней свободы f1 и f2. Для межгрупповой дисперсии число степеней свободы определяется величиной (m – 1), а для остаточной – величиной m·(n – 1). Таким образом, о значимом превосходстве одной из дисперсий можно говорить, когда соответствующее их расчетное отношение превышает критическое, определенное по таблице распределения Фишера.
Таблица критических значений распределения Фишера
f2 – число степеней свободы |
f1 – число степеней свободы для большей дисперсии |
|
для меньшей дисперсии |
8 |
36 |
8 |
6,03 |
5,15 |
36 |
3,04 |
2,21 |
Программное обеспечение
Лабораторная работа № 2 выполняется с помощью имитатора результатов дефектоскопии. Он позволяет:
– сымитировать данные замеров трещины;
– вычислить средние значения замеров в цикле дефектоскопии;
– вычислить межгрупповую и остаточную дисперсии;
– вычислить их отношения друг к другу.
Порядок выполнения работы
1. Получить с помощью расчетной части программы результаты замеров и их обработки.
2. Выявить бóльшую дисперсию и выписать в отчет соответствующее отношение дисперсий (большее 1).
3. Определить числа степеней свободы для каждой из полученных дисперсий.
4. По таблице, приведенной в описании лабораторной работы, найти критическое значение критерия Фишера.
5. Обосновать вывод о наличии или отсутствии роста трещины.
Форма отчетности: формулы для межгрупповой и остаточной дисперсий; числа степеней свободы межгрупповой и остаточной дисперсий; выражение критерия Фишера и числовые значения его частей; вывод о наличии или отсутствии роста трещины.