4.2 Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности и однородных ну и гу

Рассмотрим смешанную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными и граничными условиями.

УЧП: ;

НУ: ;

ГУ: , .

Будем считать, что функция удовлетворяет всем требованиям, которые налагаются преобразованиями, применяемыми в ходе решения задачи.

Решение данной задачи будем искать в виде

. (19)

Здесь ‑ пока неизвестные функции.

Очевидно, что введенная таким образом функция будет удовлетворять ГУ в независимости от .

Подставим ряд для функции в УЧП, допуская, что его можно дифференцировать почленно по переменным и требуемое число раз.

;

►Почленно продифференцируем ряды.◄

;

;

►Считая параметром, разложим функцию в ряд Фурье на отрезке по синусам

, где . (20)◄

;

►Перенесем вторую и третью суммы в левую часть и преобразуем ее таким образом, чтобы в ней осталась только одна сумма.◄

;

;

;

;

.

Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке по синусам. Так как это разложение единственно, то отсюда следуют равенства

, (21)

где

Используем НУ :

.

Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке по синусам. Так как это разложение единственно, то тогда

, (22)

где

Из (21) и (22) получаем задачи Коши

(23)

Решив которые, получим неизвестные функции .

Таким образом, решение рассматриваемой задачи следует проводить по схеме:

1) Найти функции , где ;

2) Решить задачи Коши (23);

3) Записать решение задачи в виде ряда (19).

Получим решение данной задачи в виде формулы.

Задача (23) является задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [8, с. 29] задача Коши вида

имеет решение

.

Тогда задача (23) будет иметь решение

.

Подставим найденные решения в (19).

►Используя (20), получим◄

►Поменяем местами знаки определенных интегралов и знак суммы. Предполагается, что в условиях рассматриваемой задачи проведение данной операции корректно.◄

►Используя функцию мгновенного температурного источника, полученное решение можно записать в виде◄

.

4.3 Физический смысл функции мгновенного температурного источника

Входящая в УЧП функция называется удельной производительностью источников. Здесь: ‑ плотность мощности внутренних источников тепла, ‑ удельная теплоемкость стержня, а ‑ его плотность [6, с. 181].

Пусть источники тепла сконцентрированы на очень малом отрезке стержня и действую только в течение небольшого промежутка времени .

Найдем количество теплоты, выделенное этими источниками

.

Отсюда

.

Найдем для данного случая решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности и однородных НУ и ГУ

►Применим теорему о среднем значении. Далее , .◄

.

Пусть источник тепла является точечным и мгновенным. Тогда перейдя к пределу при и , получим

.

Если , то тогда

.

Отсюда следует физический смысл функции мгновенного температурного источника.

Функция определяет распределение температуры в стержне при условии, что в точке стержня в момент времени выделилось количество теплоты равное .