4.6 Физический смысл фундаментального решения

Пусть начальное распределение температуры точек стержня представляет собой мгновенный единичный тепловой импульс в точке . Тогда в данном случае функция будет выражать зависимость распределения температуры в стержне от времени.

Для описания мгновенного единичного теплового импульса удобно использовать δ-функцию Дирака [11, с. 252]

Данная функция обладает следующими свойствами:

1) ;

2) .

Теперь обоснуем приведенный выше физический смысл функции .

Пусть в начальный момент в точке стержня имеет место единичный мгновенный тепловой импульс, тогда начальное условие будет иметь вид

НУ: .

В этом случае задача Коши для бесконечного стержня будет иметь решение

.

Физический смысл фундаментального решения уравнения теплопроводности доказан.

Построив графики функции при различных фиксированных значениях (на рисунках 10-13 графики приведены в порядке возрастания ), можно убедиться в естественности утверждения о том, что функция является решением задачи Коши для случая единичного мгновенного теплового импульса в начальный момент в точке .

Рисунок 10 Рисунок 11

Рисунок 12 Рисунок 13

5 Эллиптические учп

5.1 Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Для решения задачи Дирихле в круге удобно перейти в полярную систему координат [10, с 12]. В ней оператор Лапласа имеет вид [5, с. 238]

.

Тогда задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге в полярной системе координат будет иметь вид

УЧП: ;

ГУ: .

Решим задачу методом Фурье (методом разделения переменных). Для этого будем искать ее решение в виде

.

Подставив это решение в данное УЧП, получим

,

.

Разделим полученное уравнение на .

.

Умножив уравнение на , получим

, .

Выражение не зависит от переменной , а выражение не зависит от переменной . Тогда из того, что эти выражения тождественно равны, следует, что они не зависят ни от , ни от . Тогда их можно положить равными константе :

.

Отсюда следуют два обыкновенных дифференциальных уравнения:

, (36)

. (37)

Рассмотрим уравнение (37).

, (38)

Так как решение данной задачи Дирихле является периодическим по переменной с периодом , то и функция должна быть периодической с .

Можно показать, что при единственным периодическим решением уравнения (38) будет являться нулевое решение, а при решение уравнения (38) будет равно константе.

Рассмотрим случай . Для упрощения обозначений положим . Тогда уравнение (38) будет иметь вид

. (39)

Данное уравнение является линейным обыкновенным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Так как его характеристическое уравнение

имеет два комплексно сопряженных корня , то общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения будет иметь вид

.

Так как функция должна иметь период , то тогда

,

,

.

Очевидно, что для выполнимости последнего равенства достаточно, чтобы параметр был целым. С учетом того, что рассматриваются , получим, что .

Таким образом, уравнение (39) имеет общее решение

. (40)

В приведенном решении учитывается, то при решение уравнения (38) будет равно константе.

При уравнение (36) будет иметь вид

, , . (41)

Пусть . Будем искать решение уравнения (41) в виде . Для нахождения показателя , подставим предполагаемое решение в уравнение (41).

, ,

, .

Разделим уравнение на .

, , , , .

Тогда решениями уравнения (41) будут являться функции

, .

Второе полученное решение следует исключить, так как при , что противоречит физическому смыслу задачи (пункт 2.4.3).

Пусть . Тогда уравнение (41) будет иметь вид

, . (42)

Введем замену . Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

, . (43)

Произведем разделение переменных

, .

Проинтегрируем полученное уравнение

, , , .

Так как может принимать значения любого знака, то

.

При разделении переменных мы делили уравнение на , то нами было потеряно решение . Оно входит в общее решение при .

Таким образом, получаем общее решение уравнения (43)

.

Найдем общее решение уравнения (42)

.

Так как , то общее решение уравнения (42) можно записать в виде

.

Отсюда следует, что его фундаментальная система решений состоит из функций

и .

Первое полученное решение следует исключить, так как при , что противоречит физическому смыслу задачи (пункт 2.4.3).

Получили, что имеющими физический смысл решениями уравнения (41) будут являться функции

.

Тогда решениями уравнения Лапласа в круге будут иметь вид

.

Так как уравнение Лапласа является линейным однородным УЧП, то тогда можно предположить, что его решением будет являться и функция

.

Полученное решение запишем в виде

.

Для нахождения коэффициентов , , используем ГУ.

,

.

Получили разложение функции в ряд Фурье. Из теории рядов Фурье имеем:

, ,

, .

Отсюда

, ,

.

Решение данной задачи можно записать в виде

. (44)

Здесь

, ,

. (45)

Можно показать [7, с. 169], что полученный результат имеет место, если функция является периодической с периодом и непрерывной вместе со своей первой производной.