3. Случайные процессы

Случайным процессом называется процесс, значение которого при любом значении аргумента является случайной величиной. Обычно – это время.

Пусть с течением времени в случайные моменты происходит некоторое событие . Обозначим число событий, имевших место в интервале . Для определенности начинаем отсчет времени в момент , в который событие не произошло, т.е. .

Важнейшая математическая характеристика такого процесса – это вероятность того, что за время событие произойдет ровно раз:

, где ,

т.е. закон распределения целочисленной случайной величины .

Процесс называется процессом Пуассона (или простейшим потоком событий), если для него выполняются следующие предположения.

1. Процесс является стационарным, т.е. вероятность появления числа событий во временном промежутке , зависит только от длины этого промежутка (не зависит от начала отсчета).

2. Процесс – это процесс без последствий, т.е. вероятность появления событий на любом участке времени длины не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающемся с ним участком.

3. Процесс – это ординарный процесс, т.е. вероятность того, что за малый промежуток времени событие произойдет более одного раза, есть величина более высокого порядка малости чем .

Для пуассоновского процесса функция имеет вид:

, , (27)

Числовой параметр называется интенсивностью пуассоновского потока, т.е. – это среднее число событий , происходящих в единицу времени.

Решение примерного варианта ргз

Задача 1. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,4. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины – числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение.

Случайная величина может принимать 4 значения:

0 – если стрелок промахнулся 3 раза;

5 – если стрелок попал 1 раз при трех выстрелах;

10 – если стрелок попал 2 раза при трех выстрелах;

15 – если стрелок попал 3 раза.

Так как каждый выстрел можно рассматривать, как независимое испытание, в результате которого возможны только два исхода: попадание («успех») или промах («неудача»), то вероятности, соответствующие каждому значению случайной величины, можно найти по формуле Бернулли (5):

.

По условию задачи имеем: число испытаний , вероятность успеха , , значения будут изменяться от 0 до 3. Т.о. имеем:

,

,

,

.о

Следовательно, окончательно закон распределения случайной величины будет иметь вид:

	0	5	10	15
	0,216	0,432	0,288	0,064

Построим многоугольник распределения. Для этого по оси абсцисс отложим возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие им вероятности и соединяем точки (x_i, p_i) отрезками прямых. Полученная при этом ломаная линия и есть многоугольник распределения вероятностей случайной величины .

Рис. 1. Многоугольник распределения вероятностей

Рассчитаем числовые характеристики случайной величины .

1. Математическое ожидание вычисляем по формуле (7)

.

2. Дисперсия вычисляется по формуле (9):

.

3. Среднее квадратическое отклонение

.

Ответ. Закон распределения случайной величины :

	0	5	10	15
	0,216	0,432	0,288	0,064

многоугольник распределения – на рисунке 1, , , .

Задача 2. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией . Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале .

Решение.

Так как случайная величина имеет нормальное распределение, то вероятность ее попадания в интервал можно найти по формуле (11). Учитывая, что по условию имеем: , , , , то получим:

.

По таблице значений функции Лапласа находим: F(2)=0,4772, F(1)=0,3413. Значит, получаем: .

Ответ:

Задача 3. По выборке из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака X найти: 1) числовые характеристики выборки – выборочную среднюю, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение; 2) несмещенные оценки для генеральной средней и генеральной дисперсии; 3) доверительный интервал для оценки генеральной средней с надежностью .

	33,2	38,2	43,2	48,2	53,2
	2	4	10	3	1

Решение.

1. Сначала вычислим числовые характеристики выборки.

Выборочную среднюю найдем по формуле (14).

Учитывая, что объем выборки , получаем:

.

Выборочную дисперсию удобнее вычислять по формуле (16):

.

Выборочное СКО:

.

2. Несмещенной оценкой для генеральной средней является выборочная средняя .

Несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия , которая вычисляется по формуле (17):

.

3. Так как генеральная дисперсия неизвестна, а известна лишь ее оценка – исправленная выборочная дисперсия и данная выборка имеет небольшой объем ( ), то доверительный интервал для генеральной средней можно найти, используя формулы (19) и (21).

Значение находим по таблице распределения Стьюдента, где – доверительная вероятность, – объем выборки, - число степеней свободы.

Учитывая, что , , , находим сначала точность оценки по формуле (21):

.

Теперь искомый доверительный интервал определяем по формуле (19):

или .

Ответы: 1. , , ; 2. , ; 3. .

Задача 4. Один из регулировочных параметров дизеля характеризуется выборкой из n=40 вариант. Систематизировать выборку по интервалам и выполнить ее статистическую обработку по способу моментов для чего:

1. Построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения(кумуляту)

2. Вычислить статистическое среднее , исправленную выборочную дисперсию = , исправленное СКО , моду , медиану , ассиметрию , эксцесс .

3. Найти доверительные интервалы Для М(Х) и б при заданной доверительной вероятности =0.95.

41	61	50	53	53	52	54	62	61	53
50	52	45	55	58	57	58	53	53	53
56	67	52	51	52	46	57	46	58	52
52	64	54	50	49	54	49	58	46	52

Решение.

Исходный признак является непрерывным, следовательно, по исходным данным необходимо построить интервальный вариационный ряд.

Обычно интервалы, на которые разбивается весь интервал варьирования, имеют одинаковую длину и представимы в виде , где - число интервалов, – длина интервала. Длину следует выбирать так, чтобы построенный ряд не был громоздким, но в то же время позволял выявлять характерные изменения случайной величины. Рекомендуется для использовать следующую формулу:

, (1)

где – наибольшее и наименьшее значения изучаемого признака, – объем выборочной совокупности. Если окажется, что – дробное число, то за длину интервала следует принять либо ближайшую по округления с избытком дробь, либо ближайшую целую величину. При этом необходимо выполнение условий: .

По исходным данным имеем: , , . Тогда

(мм).

67-41=26, число интервалов с таким шагом, равно 26/4=6.5. Поэтому, возьмем 7 интервалов, тогда размах выборки равен 4*7=28>26.

В качестве нижней границы первого интервала выберем мм, верхней , размах выборки равен 28. Тогда вариационный ряд будет иметь вид:

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7
Границы интервала	40-44	44 – 48	48- 52	52 – 56	56 – 60	60 –64	64 – 68
Число частот	1	4	13	11	6	4	1

Одним из способов обработки вариационного ряда является построение эмпирической функции распределения.

Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке объема , называется функция , определяемая равенством

, где – накопленная частость.

x	42	46	50	54	58	62	68
n(частоты)	1	4	13	11	6	4	1
	0	1/40	5/40	18/40	29/40	35/40	39/40	1

Под первичной статистической обработкой понимают построение полигона частот и гистограммы, кумуляты, а также нахождение моды , медианы , , (определяется по графику ).

Для вычисления , применим метод моментов с использованием условных вариант. Вычислим начальные и центральные моменты. Дальнейшее решение лучше выполнять, используя EXCEL.(см. приложение). Найдем

среднее		хср=m(1)+54=		53,83
дисперсия		D(X)=v(2)*H^2=		27,11
дисперсия испр		D*(X)=n/(n-1)D(x)=		27,81
СКО=s(x)=				5.27
ассиметрия		A=m(3)*H^3/б^3		-0,08
эксцесс		E=m(4)*H^4/б^4-3		-0,44

Ассиметрия отрицательна, это указывает на «скос» кривой распределения влево от М(Х). Эксцесс отрицательный, это указывает на то, что кривая данного распределения более «плосковершинная», чем кривая простейшего нормального распределения.

Коэффициент ассиметрии и эксцесс позволяют проверить гипотезу о нормальном распределении. При нормальном распределении случайной величины выполняются следующие неравенства ;

.

n=40, 0,08<1.093, 0.044<3.22, т.е. неравенства выполняются. Следовательно, выборка произведена из нормально распределенной генеральной совокупности.

Найдем доверительные интервалы для М(Х) и . В случае, когда генеральная дисперсия неизвестна, а известна лишь ее оценка – исправленная выборочная дисперсия , то точность оценки находится по формуле: , где ,причем значение числа определяется по таблице критических точек распределения Стьюдента при доверительной вероятности и числе степеней свободы .

При достаточно больших выборках(n>30) можно воспользоваться формулой , где . По условию =0.95 и , в таблице критических точек распределения Стьюдента при доверительной вероятности и числе степеней свободы находим =2.56. Т.о., . Оценка производится по формуле находим в таблице по доверительной вероятности и числу измерений, =0.24.

Задача 5. Массовую долю (%) оксида меди в минерале определили методом иодометрии и методом комплексометрии. По первому методу получили результаты: 38,20; 38,00; 37,66, а по второму: 37,70; 37,65; 37,55. Проверить, различаются ли средние результаты данных методов на уровне значимости , если известно, что результаты измерений имеют нормальный закон распределения с неизвестными, но равными дисперсиями.

Решение.

Вычисляем для каждого метода числовые характеристики, учитывая, что объем каждой выборки равен :

• выборочные средние значения по формуле (14):

=37,63;

• исправленные выборочные дисперсии по формуле (18):

,

=0,07453;

=0,00583.

Теперь проверим гипотезу о равенстве средних двух совокупностей.

1. Нулевая гипотеза: : .

Альтернативная гипотеза: :

2. Уровень значимости .

3. Проверку гипотезы будем проводить с помощью -критерия, так как выборки маленькие и по условию дисперсии генеральных совокупностей неизвестны, но равны. По таблице значений распределения Стьюдента при и числе степеней свободы находим критическое значение: .

4. Рассчитаем эмпирическое значение -критерия, используя формулу (22):

.

Сравним полученное значение с табличным значением . Так как , то гипотеза принимается.

5. Гипотеза о равенстве средних значений двух методов проверена на уровне значимости с помощью -критерия и принята. Следовательно, результаты обоих методов отражают истинное содержание в минерале.

Ответ: гипотеза о равенстве средних проверена на уровне значимости с помощью -критерия и принята.

Задача 5. Имеются следующие данные об уровне механизации работ (%) и производительности труда (т/чел.) для 14 однотипных предприятий:

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7
	30	32	36	40	41	47	54
	24	20	28	30	31	33	37

№ п/п	8	9	10	11	12	13	14
	55	56	60	61	67	69	76
	40	34	38	41	43	45	48

Требуется: 1) оценить тесноту и направление связи между признаками с помощью коэффициента корреляции и оценить значимость коэффициента корреляции на уровне значимости ; 2) найти уравнение линейной регрессии на ; 3) в одной системе координат построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии.

Решение.

1. Для удобства проведем все необходимые предварительные расчеты в таблице.

Таблица 1

Расчетная таблица

№ п/п
1	30	24	900	576	720
2	32	20	1024	400	640
3	36	28	1296	784	1008
4	40	30	1600	900	1200
5	41	31	1681	961	1271
6	47	33	2209	1089	1551
7	54	37	2916	1369	1998
8	55	40	3025	1600	2200
9	56	34	3136	1156	1904
10	60	38	3600	1444	2280
11	61	41	3721	1681	2501
12	67	43	4489	1849	2881
13	69	45	4761	2025	3105
14	76	48	5776	2304	3648
Всего	724	492	40134	18138	26907

Рассчитаем числовые характеристики выборки, используя итоговую строку расчетной таблицы и учитывая, что объем выборки :

• выборочные средние:

;

;

• средние по квадратам:

;

;

• средняя по произведениям:

;

• выборочные средние квадратические отклонения:

; ;

; .

Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле (26):

.

Т.к. и , то, следовательно, линейная связь между изучаемыми признаками является прямой и весьма тесной.

Оценим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем эмпирическое значение -критерия по формуле (26):

.

Для уровня значимости и числа степеней свободы находим критическое значение -критерия: по таблице значений распределения Стьюдента. Поскольку , то коэффициент корреляции между признаками и является значимым (или значимо отличается от нуля).

2. Найдем уравнение линейной регрессии на : , вычислив параметры уравнения регрессии по формулам (23) и (24):

;

.

Следовательно, уравнение прямой регрессии имеет вид:

.

3) Построим в одной системе координат эмпирическую и теоретическую линии регрессии. Эмпирическая линия – это ломаная, соединяющая точки с координатами , а теоретическая – это график прямой регрессии, уравнение которой было получено в п. 2. Теоретическую линию регрессии можно построить по двум точкам, абсциссы которых выбираются произвольно, а ординаты находятся по построенному уравнению регрессии. Найдем координаты точек для построения теоретической линии регрессии: , тогда ; , . Значит, теоретическую линию регрессии будем строить по двум точкам с координатами и .

Рис. 2. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии

Ответ: 1) , линейная связь прямая, весьма тесная, коэффициент корреляции значим на уровне значимости ; 2) выборочное уравнение прямой регрессии ; 3) линии регрессии представлены на рис. 2.

Задача 6. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: 1) четыре вызова; 2) менее четырех вызовов; 3) не менее четырех вызовов.

Решение.

Случайные события – заказы такси – представляют собой процесс Пуассона .

По условию имеем: интенсивность потока – среднее число заказов в единицу времени – , промежуток времени .

1) Искомая вероятность того, что за минуты поступит ровно вызова можно вычислить по формуле (28). Имеем:

.

2) Событие "поступило менее четырех вызовов" произойдет, если за время мин. наступит одно из следующих несовместных событий: «поступило три вызова» – , «поступило два вызова» – , «поступил один вызов» – , «не поступило ни одного вызова» – . Таким образом, искомую вероятность находим с помощью теоремы сложения вероятностей (1):

3) События "поступило не менее четырех вызовов" и "поступило менее четырех вызовов" противоположны, поэтому искомую вероятность того, что за две минуты поступит не менее 4 вызовов, можно найти по формуле (3):

.

Ответы: 1) ; 2) ; 3)