§5. Формула Байеса.

Рассмотрим следующую задачу: имеется полная группа несовместных гипотез Н₁, Н₂, … , Н_n, вероятности которых известны: Р(Н₁), Р(Н₂), … , Р(Н_n). Произведен опыт, в результате которого наступило событие А. Появление события А может повлечь за собой изменение первоначальных вероятностей гипотез. Формула Байеса показывает, как изменяются вероятности в гипотезах, т.е. ищет вероятность Р(Н_i/А).

P(A*H_i) = P(A)* Р(Н_i/А)) = P(H_i)

P(H_i/A) =

Пример 1: Некоторые изделия выпускаются двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в три раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода – 2%, у второго – 1%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковое время, перемешали и отправили на продажу. Какова вероятность того, что приобретенное бракованное изделие изготовлено на первом заводе?

Решение:

Событие А – приобретено бракованное изделие

Н₁ – первым заводом

H₂ – вторым заводом

Р(Н₁) = ; Р(Н₂) =

P(A/H₁) = 0.02; P(A/H₂) = 0.01

P(H₁/A) =

Задание: 1) В трех ящиках – a, b и c – содержатся, соответственно, две золотые, одна золотая и одна серебряная и две серебряные монеты. Случайным образом выбирается ящик и из него произвольно вынимается монета. Монета оказалась золотой. Какова вероятность, что вторая монета в этом ящике также золотая?

2) Прибор установленный на борту самолёта, может работать в 2 режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета занимает 80% всего времени полета, в условиях перегрузки - 20%. Вероятность отказа прбора за время крейсерского полета равна 0,1, в условиях перегрузки-0,4:

а) Найдите надежность(вероятность безупречной работы) прибора во время полета;

b) Во время полета прибор отказал. Найдите вероятность того , что полет проходил: 1) в крейсерском режиме; 2)в условиях перегрузки.

§6. Повторное испытание. Формула Бернулли.

Производится серия из n испытаний, в каждом из которых событие А может появиться, или нет.

Определение. Если вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то испытания называются независимыми относительно А.

В разных независимых испытаниях событие А может появиться с различной вероятностью, если условия опыта различны. Будем рассматривать такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность. Нас будет интересовать общее число появлений события А в серии из n испытаний, а не отдельный исход опыта.

Пример 1: Для баскетболиста вероятность попасть мячом в корзину Р. Найти вероятность того, что при трех бросках он попадет ровно два раза.

Решение:

Пусть событие В – баскетболист попадет ровно два раза.

Событие А – попадание в корзину при одном броске.

Р(А) = р; Р( ) = 1-р = q

А₁, А₂, А₃ – попадание при трех бросках соответственно.

В =

Все варианты несовместны, а события независимы. Тогда, по теоремам сложения и умножения вероятностей получаем:

Р(В) = =

Общая задача.

Найти вероятность того, что в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р, и не появиться с вероятностью q. Событие А появится m раз.

Р(А) = р; Р( ) = 1-р = q

Тогда B_m – событие А появится ровно m раз.

Число слагаемых – число сочетаний из n по m:

Вся вероятность:

- формула Бернулли.

Пример 2: В воздух шесть раз бросают монету. Найти вероятность выпадения герба:

1. Два раза.

2. Не более двух раз.

Решение:

1)

2)

Замечание 1. Использование формулы Бернулли при больших значениях n вызывает большие трудности, т.к. это связано с громоздкими вычислениями, также она дает неточный результат.

Замечание 2. Вероятности появления события А ровно к раз различные в зависимости от m.

Определение. Число m₀, при котором вероятность наибольшая, называется наивероятнейшим числом, если вероятность того, что событие А наступит в испытаниях m₀ раз превышает, или по крайней мере не меньше вероятностей остальных возможных исходов испытания.

Тогда, по определению наивероятнейшего числа вероятности наступления события А (m₀+1) раз и (m₀-1) раз не должны превышать .

Формула для определения наивероятнейшего числа:

n*p – q ≤ m₀ ≤ n*p + p

Пример 3: Если монету бросить сто раз, то чему будет равно наивероятнейшее число?

Решение:

≤ m₀ ≤

m₀ = 50.

Задание: 1) Из 100 аккумуляторов за год хранения 7 выходит из строя. Наудачу выбирают 5 аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них 3 исправных.

2) Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:

а) три элемента;

б) не менее четырех элементов;

в) хотя бы один элемент.