§7. Предельные теоремы. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Эта теорема позволяет установить приближенную (асимптотическую) формулу для подсчета вероятности того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно m раз. Формула применяется, когда число испытаний достаточно большое, а вероятность р не является достаточно малой.

Теорема: Если вероятность появления события А при каждом из независимых испытаний постоянна и равна р (0 < р < 1), то вероятность появления события А m раз в серии из n испытаний может быть представлена как:

, где x =

Чем больше n, тем точнее результат.

В 1730 году эта формула была выведена для p = Муавром, и только в 1783 году Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р.

Принято пользоваться следующей записью:

.

Замечание. При x ≥ 4 можно считать, что .

Пример 1: Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для одного стрелка = 0.7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение:

p = 0.7, m = 160, q = 0.3

;

x = 3.09;

;

.

Задание: 1) Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик.

2) Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема. Если р –вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность

(3)

Где x₁ = , x₂=

Через функцию Гаусса можно написать:

.

Нормализованная функция Лапласа.

.

Функция Лапласа нечетная: .

При x ≥ 5 .

Запишем формулу (3) через формулу Лапласа:

,

Где x₁ = , x₂=

Простая функция Лапласа:

.

;

.

Задание: 1) Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

2) Вероятность того, что транзистор не прошел ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 транзисторов не проверено от 70 до 100.

§8. Вероятность отклонения частоты события от вероятности события в независимых испытаниях.

Теорема Бернулли. Для всякого ε > 0: . Чем больше n, тем ближе к 1, т.е. при достаточно большом числе испытаний и с вероятностью сколь угодно близкой к 1, частота появления события мало отличается от вероятности события.

Пример 1: Вероятность попадания в цель при одном выстреле = 0.6. Найти вероятность того, что при n = 1200 независимых выстрелов отклонение частоты от вероятности по модулю не превышает ε = 0.05.

Решение:

.

Определение. Говорят, что величина х_n сходится по вероятности к величине а, если для сколь угодно малого > 0 вероятность неравенства |x_n - a| < ε при n стремящемся к бесконечности, приближается к 1.

Таким образом, из теоремы Бернулли следует, что при n стремящемся к бесконечности частота события сходится по вероятностям к вероятности события.