Процедуры нелинейного анализа

Определение критической нагрузки при нелинейном анализе состоит в последовательном увеличении приложенных нагрузок до тех пор, пока решение не станет расходиться. При этом важно знать, что отсутствие сходимости не обязательно означает достижение критической нагрузки. Следует тщательно отслеживать поведение конструкции на прямой нагружения перемещения, чтоб однозначно решить являются ли нарушение сходимости момента достижения критической нагрузки или отражает какие-то другие проблемы отсчета. Рассмотрим подробности такого анализа.

1) чтобы вызвать начальное отклонение конструкции от идеальной равновесной формы следует добавить к действующей нагрузке небольшое возмущение в виде усилия или перемещения. Критическая составляющая конструкции в сильной степени зависит от размера и положения начального несовершенства.

2) следует учитывать, что при больших перемещениях усилия и перемещения сохраняют первоначальную ориентацию, а поверхностные нагрузки становятся следящими?.

3) недостаточно установить, что конструкция останется устойчивой при данной нагрузке

Для определения коэффициента запаса по устойчивости требуется найти критическую нагрузку. В качестве примера на базе использования анализа значений рассматриваемой устойчивости упр. балочных систем. Пот. энергия деформации при изгибе с учетом влияния осевой сжимающей силы Тс равно:

Внося в это выражение среднее перемещение:

Тогда получим:

элемент матрицы жесткости при изгибе

– элементы геометрической матрицы жесткости

- ф. формы

Выражения для пот. энергии:

Отсюда:

вектор обобщенных усилий

Если вместо силы для i-го КЭ ввести , где – постоянная величина размерностью силы, то при {R}=0 (действует только изгибающий момент от Tc), получим

Поскольку перемещения не должны тождественно равняться нулю, то приравнивая определитель нулю:

Мы пришли к проблеме нахождения собственных чисел. Наименьшим из них определяет при котором наступает потеря устойчивости. Далее сравниваем с реально действующими нагрузками в элементах. И в случае когда чем внутр. нагрузки, то возможна потеря устойчивости.

Физическая нелинейность

При физической нелинейности

– нелинейны.

Элементы определяют по форме

Тогда матрица жесткости:

* - нелинейность

Тогда основное уравнение МКЭ станет нелинейным:

Решение этого уравнения может быть осуществлено в общем случае «явными» и «неявными» методами.

«Явные» и «неявные» методы.

В ANSYS поддерживаются неявные методы интегрирования уравнения динамики, использующие схему Ньюмарка. Расчет сводится к серии решений квазистатических задач с нагрузками, зависящими от времени. По сравнению с явными методами временные шаги относительно большие. Для высоко скоростных процессов, протекающих обычно в несколько миллисекунд и при очень больших деформациях приходится делать шаги весьма малыми, чтобы отследить изменение нагрузки и поведение конструкции. Инерционные нагрузки велики и определяются ускорениями конструкции. Для более точного их расчета эффективно вводить ускорения и скорости, число узловых степеней свободы и вычислять их на прямую, а не дважды дифференцируя перемещения, т.о. при малом шаге решение задач, может потребовать больше (10-ки – сотни раз) времени ЭВМ, чем при использовании явных методов, либо не сойтись.

Явными называют методы решения уравнений динамики не связанные с решением систем уравнений, но использующие рекуррентные соотношения, которые выражают перемещения, скорости и ускорения на данном шаге, через их значения на предшествующих шагах. Из-за очень малого размера шага явные методы применяются обычно только для расчета кратковременных процессов. Т.о. явные и неявные методы дополняют друг друга. Решатели ANSYS хорошо работают со статическими и квазистатическими задачами.

Явные решатели LS-DYNA из-за ошибок к тому времени мало эффективны для дин. и стат. задач. LS-DYNA использует спец. тех. помощник оптимизированный для решения высокоскоростных кратковременных процессов. Явный метод решения используемый в LS-DYNA обеспечивает наиболее эффективный расчет быстротекущих процессов, высокоскоростных процессов с большими динамическими, деформациями квазистатических задач с большими деформациями и высокой нелинейностью и так же сложных задач контакта. Решение основного уравнения неявными методами возможно при использовании итерационных методов. Рассмотрим 5 основных методов:

1) Метод последовательных приближений

На каждом шаге решения основного уравнения определяются через значения вектора q перемещения полученного на предыдущем шаге.

S – номер приближения (шаг)

Решение продлится до тех пор, пока разница результатов на данном и предыдущем шагах не будет достаточно малой. Метод обладает существенным недостатком. При сильной нелинейности он слабо сходится, а не редко расходится с точным решением, поэтому в таком виде применяется ограничено.

2) Метод упругих решений

Основан на выделении из матрицы жесткости K линейной и нелинейной составляющей:

Тогда из основного уравнения с учетом этого получим:

Методами последовательных приближений решаем уравнение:

Процесс требует меньше операций, т.к. требует разового обращения к K_л, но сильно зависит от начального приближения и при большой разнице между линейным и нелинейным решениями могут расходиться или плохо сходиться.

3) Метод Ньютона-Равсела

Используется для ускорения сходимости. Пусть для приближенного S основного уравнения получено расхождение:

Зададим неизвестное перемещение , приращение , а затем погрешность для системы определяемой на S+1, разложим в ряд Тейлора сохраняя первоначальные два члена:

- невязка(погрешность)

Внося это выражение в предыдущее и дифференцируя, получим:

- тангенциальная матрица, определенная на каждом шаге

Из последнего уравнения находим , а затем уточняем решение:

Число итераций уменьшается. Процесс обычно сходящийся, но не всегда. Рассмотренные три метода сводятся к ликвидации невязки.

4) Метод шагового погружения.

Основан на предположении, что в процессе нагружения отдельные составляющие внешней нагрузки изменяются пропорционально общему параметру нагружения.

Дифференцируя основное уравнение МКЭ по и учитывая выражение мы получаем следующее выражение:

Недостаток: наличие «дрейфа» приближенного решения от точного. Накопленную невязку далее ликвидируют одним из первых трех методов.

5) Самокорректирующийся

z – скалярный множитель

Используя это выражение и внося его в выражение для , получим:

Решение последнего уравнения можно осуществить массовым методом в сочетании на каждом шаге с процедурой последовательных приближений. Этот метод сочетает достоинство всех методов. Сходимость итерационных методов сильно зависит от начальных приближений.