Приведение дифференциальных уравнений в частных производных к каноническому виду.
Рассмотрим область G, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип.
Через каждую точку области G проходят две характеристики, причем для уравнений гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа – различны, а для уравнений параболического типа обе характеристики действительны и совпадают между собой.
Разберем каждый из этих случаев в отдельности.
Для уравнения гиперболического типа правые части уравнений (8), (9) действительны и различны. Общие интегралы их ,
определяют действительные семейства
характеристик.
Полагая,
приводим уравнение
(5) после деления на коэффициент при
к виду
,
где
.
Это так называемая каноническая форма уравнения гиперболического типа. Часто используются второй канонической формой.
Полагаем
,
т.е.
,
где
и
- новые переменные.
Тогда
,
,
.
В результате уравнение (5) примет вид
,
.
Для уравнений параболического типа
.
Уравнения (8) и (9) совпадают, и мы получаем
один общий интеграл уравнения (7):
.
Положим в этом случае
,
где
- любая функция, независимая от
.
При таком выборе переменных, коэффициент
,
т.к.
;
отсюда следует, что
.
После деления уравнения (5) на коэффициент при получим каноническую форму для уравнения параболического типа
,
где
.
Если в правую часть
не входит
,
то это уравнение будет обыкновенным
дифференцированным уравнением, зависящим
от
как от параметра.
Для уравнения эллиптического типа правые части уравнений (8) и (9) комплексны.
Пусть
- комплексный интеграл уравнения (8).
Тогда
,
где
сопряженная к
функция, будет представлять общий
интеграл сопряженного уравнения (9).
Перейдем к комплексным переменным, полагая
,
.
При этом уравнение эллиптического типа приводится к такому по виду, что и гиперболическое.
Чтобы не иметь дела с комплексными переменными, введем новые переменные и
,
так что
В этом случае
То есть
.
Уравнение (5) после
деления на коэффициент при
принимает вид
.
Таким образом, в
зависимости от знака выражения
имеют место следующие канонические
формы уравнения:
(гиперболический
тип)
или
(эллиптический
тип)
(параболический
тип)
Примеры:
Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения
и
привести его к каноническому виду в
области гиперболичности.Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду
3. Найти общее решение
4. Найдите области гиперболичности, эллиптичности и параболичности:
1)
2)
Лекция 7 Тема: Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными. Такие уравнения имеют вид
(10)
где
- некоторые числа,
- некоторая функция.
Введем число
.
Приведем уравнение 2-го порядка к
каноническому виду. Предположим, что
хотя бы один из коэффициентов а11
или а22
отличен от нуля. Более того, меняя местами
х и
у,
если это необходимо, можно считать, что
.
В данном случае характеристиками для
уравнения (1) будут прямые:
(11)
Согласно общей теории необходимо сделать замену переменных.
Рассмотрим следующие случаи:
Гиперболический тип (∆>0). С помощью замены координат
(12)
Уравнение (10) приводится к виду:
(13)
Эллиптический тип (∆<0). С помощью замены координат
(14)
Уравнение (10) приводится к виду:
(15)
Параболический тип (∆=0). С помощью замены переменных
(16)
Уравнение (10) приводится к виду:
(17)
Замечание:
Если
,
то уравнение (10) приводится к виду (15)
при помощи замены:
.
Для дальнейшего
упрощения введем вместо
новую функцию
:
,
где
- неопределенные пока постоянные, тогда
Подставляя выражения
для производных в уравнение (15) и сокращая
затем на
,
получаем
Параметр
и
выбираем так, чтобы
два коэффициента, например при первых
производных обратились в ноль:
.
В результате получим
.
где γ – постоянная,
выражающаяся через
.
Производя аналогичные операции и для уравнений с постоянными коэффициентами:
(эллиптический
тип)
гиперболический
тип)
(параболический
тип)
Пример: Привести к каноническому виду уравнение
Решение:
Так как
,
то это уравнение является уравнением
гиперболического типа.
Согласно формуле (12) делаем замену
(*)
Вычисляем частные производные:
Решая систему уравнений (*) относительно х, у находим формулы обратной замены.
Подставляя полученные выражения в уравнение, и приводя подобные получаем:
Умножение на -1 приводит уравнение к виду:
Далее делаем замену неизвестной функции:
Вычисляем частные производные функции u:
Подставляя эти
выражения в уравнение и разделив на
,
получаем
Надо положить
,
т.е.
.
Тогда уравнение примет канонический вид:
Примеры:
Привести к каноническому виду
