Лекция 9 Тема: Постановка краевых задач. Решение задачи Коши.
Пусть струна находиться под действием сильного начального натяжении Т0. Если вывести струни из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться.
Процесс колебания можно описать одной функцией u(x,t), характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия).
При каждом фиксированном значении t график функции u=u(x,t0) на плоскости ХОu дает форму струны в момент t0 .
Функция u=u(x,t) удовлетворяет уравнению
(9)
где
- масса единицы длины (линейная плотность
струны), F
– сила, действующая на струну
перпендикулярно оси ОХ и рассчитанная
на единицу длины.
Если внешняя сила отсутствует, то есть f=0, то уравнение
(10)
описывает свободные колебания струны без воздействия внешних сил.
Уравнение (9) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений математической физики.
Однако, уравнения движения (9) или (10) при математическом описании физического процесса недостаточно.
Нужно дополнительно начальные и граничные условия.
Так как процесс колебания струны зависит от её начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальное условия:
(11)
Граничные условия определяются поддерживание на концах струны режимом на протяжении процесса колебания.
Так, если концы струны длины l закреплены, то отклонение U(x,t) в точках х=0 и x=l равны нулю:
(12)
Будем говорить о трех типах граничных условий:
где
- известные функции,
- известные постоянные.
Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, 2-го, 3-го рода.
Условие I имеет место в том случае, когда концы объекта перемещаются по заданному закону.
Условие II – в случае, когда к концам приложены заданные силы.
Условие III - в случае упругого закрепления концов.
Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными.
Так граничные условия (12) – однородные.
Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.
В том случае, когда зажим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной.
В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу – задача Коши:
Найти решение
уравнения (9) для
при t>0,
удовлетворяющее начальным условиям
Если изучается
процесс вблизи одной границы, и влияние
граничного режима на второй границе
не имеет существенного значения на
протяжении интересующего нас промежутка
времени, то приходим к постановке задачи
на полуограниченной прямой
.
В этом случае задаются начальные условия
и одно из граничных условий I-III
при х=0.
Задача: Однородная
струна длины l
совершает малые поперечные колебани.
Поставить задачи от определении
отклонений U(x,t)
точек струны от прямолинейного положения
покоя, если в момент t=0
струна имеет форму
и скорость каждой ее точки задается
функций
.
а) концы струны закреплены
б) концы струны свободны
в) в концах струны
х=0 и
х=l
начиная с момента t=0,
приложены поперечные силы F(t)
и
.