I.4. Общие сведения о точности геодезических измерений

Геодезические измерения по точности их выполнения подразделяются на: высокоточные, точные, средней точности и малой точности.

Геодезические измерения, выполняемые при создании ГГС, относят к высокоточным и точным, сетей сгущения – к средней точности, съемочных сетей и производства топографических съемок – к малой точности. Специальные геодезические сети характеризуются требованиями высокой точности измерений.

Точность геодезических измерений характеризуется квадратическими погрешностями : средними и предельными, абсолютными и относительными. Эти критерии оценки точности геодезических измерений учитывают неизбежные (случайные) погрешности измерений. Влияние других видов погрешностей, например, систематических должно быть устранено. Для этого необходимо или знать закон действия этих погрешностей, или так методически правильно организовать измерения, чтобы систематическая погрешность в значительной степени взаимно исключалась. Однако и в этом случае полностью исключить влияние систематических погрешностей на результаты измерений невозможно. Поэтому влиянием остаточных величин систематических погрешностей на результаты измерений можно пренебречь только при измерениях малой и средней точности; при высокоточных и точных измерениях необходимо учитывать и систематические погрешности.

Приближенные характеристики точности разных классов геодезических измерений приведены в табл. 1.

Таблица 1

Класс измерений	Вид измерений
	линейные измерения	угловые измерения	измерения превышений в мм на 1 км хода
	средние квадратические погрешности
Высокоточные и точные измерения Средней точности измерения Малой точности измерения	1:1000 000 – 1:100 000 1:100 000 – 1:5000 1:5000 – 1:200	0,5 – 3,0// 3,0 – 10,0// 10,0 – 60,0//	0,5 – 5,0 (случайные) 0,05 – 1,0 (систематич.) 10 – 25 (случайные) 25 и более

Решение инженерно-геодезических задач в строительстве связано с производством геодезических измерений всех классов точности; однако массовым видом измерений являются измерения малой и средней точности, поэтому в дальнейшем основное внимание будет уделено производству геодезических измерений именно этой точности.

1.5. Решение основных геодезических задач. Прямая и обратная геодезические задачи

Основными геодезическими задачами вычислений являются определения по результатам полевых измерений дирекционных углов, горизонтальных проложений и координат точек земной поверхности, спроектированных на плоскость в проекции Гаусса – Крюгера.

1. Вычисление дирекционных углов сторон теодолитного хода.

При определении координат точек съемочного обоснования возникает задача определения дирекционных углов всех линий, связывающих эти точки. Такая задача может быть решена, если будет известен дирекционный угол одной из этих линий и углы поворота между ними (рис. 6).

Допустим, что дирекционный угол α₁ первой линии 1-2 хода 1,2,3,4 известен и измерены углы поворота β₁, β₂, β₃ между ними. Необходимо найти дирекционные углы α₂, α₃, α₄, последующих линий 2-3, 3-4, 4-5 хода. Из анализа рис. 6 видно, что на вершине угла β₁ дирекционный угол, отсчитанный от северного конца осевого меридиана по ходу часовой стрелки до направления линии 2-1, будет равен дирекционному углу первой линии 1-2 плюс 180 ⁰. В то же время этот угол будет равен дирекционному углу α₂ второй линии 2-3 хода плюс угол поворота β₁ на этой вершине. Таким образом, эти два угла можно приравнять друг другу, т.е.

α₁ + 180⁰ = α₂ + β₁.

Отсюда искомый дирекционный угол α₂ следующей линии 2-3 будет равен:

α₂ = α₁ + 180⁰ – β₁. (а)

Переходя на вершину угла β₂, можно отметить, что дирекционный угол линии 3-2 будет равен дирекционному углу α₂ плюс 180⁰. В то же время этот угол будет равен дирекционному углу α₃ плюс угол поворота β₂ на этой вершине. Следовательно, можно записать равенство:

α₂ + 180⁰ = α₃ + β₂.

Отсюда искомый дирекционный угол α₃ линии 3-4 будет равен:

α₃ = α₂ + 180⁰ – β₂. (б)

По аналогии с предыдущим можно записать формулу определения дирекционного угла α₄ линии 4-5:

α₄ = α₃ + 180⁰ - β₃. (в)

И з анализа всех трех равенств (а), (б), (в) вытекает общее правило зависимости между дирекционными углами смежных линий и углом поворота между ними, а именно, дирекционный угол последующей линии хода равен дирекционному углу предыдущей линии плюс 180⁰ и минус горизонтальный угол между ними справа по ходу лежащий. Без труда можно заметить, что измерение горизонтальных углов слева по ходу лежащих в формуле вычислений следует угол поворота прибавить. Кроме того, сложение дирекционного угла предыдущей линии со 180⁰ есть ничто иное, как изменение прямого дирекционного угла данной линии на обратный, а в этом случае прибавление или вычитание 180⁰ значения не имеет, т.е. справа по ходу лежащие

α _{послед.} = α_пред. 180⁰ n Σβ (4)

слева по ходу лежащие

2. Вычисление дирекционных углов сторон треугольников в триангуляционном ряде. Так как координаты точек цепочки треугольников вычисляются так же, как и в теодолитном ходе последовательно, то и дирекционные углы в принципе могут вычисляться по той же формуле (4). Для этого нужно определиться, по какой ветке хода будем вести вычисления дирекционных углов и в последующем координаты ее вершин. Например, ветка хода A B D G J (рис. 3) будет иметь углы поворота справа по ходу лежащие; ветка хода A C F I M – слева по ходу лежащие, а ветка хода A C E H K – и слева, и справа по ходу лежащие. Поэтому, используя формулу (4), необходимо правильно определять углы поворота в выбранной ветке хода. При этом следует учитывать, что углы поворота будут складываться из углов вершин треугольников, примыкающих к данной вершине хода.

3. Вычисление длин сторон треугольников в триангуляционном ряде. Вычисление длин сторон треугольников производится последовательно от исходной (базисной) стороны по теореме синусов, представленной выражением

= = , (5)

где d₁, d₂, d₃ – длины сторон треугольника, β₁, β₂, β₃ – горизонтальные углы, противолежащие соответствующим сторонам треугольника.

Отсюда, в соответствии с рис. 3, где сторона АВ = d₁ является исходной (базисной), будем иметь

d₂ = d₁ ; d₃ = d₁ . (6)

Таким образом, решая эти выражения относительно исходной стороны, будут получены две другие стороны треугольника, которые в свою очередь будут исходными для двух смежных треугольников, и далее число определяемых сторон в цепочке триангуляции будет возрастать в алгебраической пропорции. Не трудно заметить, что процесс вычислений в каждом треугольнике цепочки триангуляции будет иметь повторяющийся характер, что легко поддается программированию.

4. Вычисление углов в треугольниках трилатерации. Вычисление углов в этом методе развития геодезических сетей производится или по теореме тангенсов половинных углов

tg = (7)

где 2р = d₁ + d₂ + d₃, или по теореме косинусов

β₁ = arccos . (8)

5. Прямая геодезическая задача. Вычисление координат точек геодезической сети при любом методе ее развития сводится к последовательному решению именно прямой геодезической задачи. Сущность задачи заключается в определении координат х₂, у₂ точки 2 по известным координатам х₁, у₁ точки 1, дирекционному углу α_1-2 и длине d_1-2 исходной стороны (рис. 7).

Из анализа рис. 7 видно,

х

(9)

₂ = х₁ + (х₂ – х₁) = х₁ + Δх

у₂ = у₁ + (у₂ – у₁) = у₁ + Δу

Разности координат Δх и Δу, называемые приращениями координат, определяются из решения треугольника 123 (рис. 7).

х

.

(10)

₂ – х₁ = Δх = d_1-2 cos α_1-2

у₂ – у₁ = Δу = d_1-2 sin α_1-2

6. Обратная геодезическая задача. Вычисление координат геодезических сетей возможно лишь при наличии исходных данных в виде координат первой точки сети, длины и дирекционного угла исходной линии. Эти данные могут быть получены, если сеть опирается на пункты с известными координатами. Именно на этой стадии вычислений и решается обратная геодезическая задача. Сущность этой задачи заключается в том, что по известным координатам х₁, у₁ и х₂, у₂ точек 1 и 2 линии 1–2 определяются длина d_1-2 и дирекционный угол α_1-2 этой линии (рис. 7).

Из анализа рис. 7 видно, что искомый дирекционный угол α_1-2 равен румбу r_1-2. Как известно, угловая величина румба какой-либо линии

в прямом направлении равна угловой величине его в обратном направлении, т.е. они занимают накрест лежащее положение по отношению к этой линии. Из рис. 7 видно, что r_1-2 = r_2-1, а угловая

величина r_2-1 может быть определена из решения треугольника 123, т.е. противолежащий катету Δу угол r_2-1 будет равен:

arc tg = r_2-1 = r_1-2. (11)

Отсюда определяется искомый дирекционный угол α_1-2. Для этого необходимо определить четверть, в которой находится данная линия 1–2. Четверть определяется по знакам приращений (у₂ – у₁) = Δу и (х₂ – х₁) = Δх, т.е. по знакам числителя и знаменателя формулы (11). В соответствии с рис. 8 можно изобразить

Числитель ΔУ: + + – –

Знаменатель ΔХ: + – – +

Четверть І СВ ІІ – ЮВ ІІІ – ЮЗ ІV – СЗ

Зависимость α = r α = 180 - r α = 180 + r α = 360 - r

Рис. 8. Схема определения направления румба

и зависимости между дирекционными углами и румбами

Из рис. 8 видно, что функция не изменится, если в ней будет использоваться не румб, а соответствующий дирекционный угол. Тогда в общем виде можно записать

tg α_1-2 = = (12)

d_1-2 = (13)

или

d_1-2 = . (14)

Если развиваемая геодезическая сеть опирается на два пункта сети высшего класса, координаты которых известны, то определение координат первой точки сети могут быть получены и без вычисления длины исходной стороны. Например, необходимо определить координаты точки 3, если известны координаты точек 1 и 2 (рис. 9).

Задача, называемой прямой геодезической засечкой, решается следующим образом.

На опорных точках 1 и 2 измеряются углы β₁ и β₂. По координатам исходных точек решается обратная геодезическая задача и вычисляется дирекционный угол α_1-2 исходной линии 1–2. По исходному дирекционному углу и измеренным углам вычисляются дирекционные углы α_1-3 и α_2-3 линий 1–3 и 2–3. Тогда координаты определяемой точки 3 будут равны:

y₃ = , (15)

x₃ = (y₃ – y₁) ctgα_1-3 + x₁. (16)

Контрольная формула

x₃ = (y₃ – y₂)ctgα_2-3 + x₂. (17)

На точке 3 измеряют примычные углы β₃ и β₄ для вычисления дирекционных углов первой и последующих линий хода.

Если с первой точки развиваемой геодезической сети хорошо просматриваются три пункта, координаты которых известны, то координаты первой точки сети могут быть определены и без измерения углов β при опорных пунктах. Определение координат производится путем решения обратной геодезической засечки – задача Потенота.