Колебания и волны

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

х = Аcos (ωt + φ),

где х – смещение; А – амплитуда колебаний; ω – угловая или циклическая частота; φ – начальная фаза.

Период малых колебания маятников:

а) пружинного и математического

;

б) физического

,

где m – масса маятника; k – жесткость пружины; I – момент инерции маятника; g – ускорение свободного падения; l – расстояние от точки подвеса до центра масс, L – приведенная длина.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания

υ = –Аω sin (ωt + φ), a = –Аω² cos (ωt + φ).

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

;

б) начальная фаза результирующего колебания

.

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

х = А₁cos (ωt); y = А₂cos (ωt + φ):

а) y = , если разность фаз φ = 0;

б) y = – , если разность фаз φ = ±π;

в) , если разность фаз φ = ±π/2.

Уравнение плоской бегущей волны

,

где y – смещение любой из точек среды с координатой х в момент t; υ – скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз Δφ колебаний с расстоянием Δх между точками среды, отсчитанными в направлении распространения колебаний:

,

где λ – длина волны.

Статистическая физика и термодинамика

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

.

Количество вещества

ν = N/N_A = m/M,

где N – число молекул; N_A – постоянная Авогадро; m – масса вещества; М – молярная масса.

Количество вещества смеси газов

ν = ν₁ + ν₂ + …+ ν_n = N₁/N_A + N₂/N_A +…+ N_n/N_A

или

ν = m₁/M₁ + m₂/M₂ +…+ m_n/M_n,

где ν_i, N_i, m_i, M_i – соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-го компонента смеси.

Уравнение Менделеева – Клапейрона

pV = νRT,

где р – давление газа; V – его объем; R – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева – Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс: Т = const, m = const)

pV = const,

или для двух состояний газа

p₁V₁ = p₂V₂;

б) закон Гей - Люссака (изобарный процесс: р = const, m = const)

V/ T = const,

или для двух состояний

V₁/ T₁ = V₂/ T₂;

в) закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const)

р/ Т = const,

или для двух состояний

р₁/ Т₁ = р₂/ Т₂;

г) объединенный газовый закон (m = const)

,

где р₁, V₁, T₁ – давление, объем и температура газа в начальном состоянии; р₂, V₂, T₂ – те же величины в конечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

р = р₁ + р₂ +…+ р_n,

где р_i – парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

,

где m_i – масса i-го компонента смеси; ν_i = m_i/M_i – количество вещества i-го компонента смеси; n – число компонентов смеси.

Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

ω_i = m_i /m,

где m – масса смеси.

Концентрация молекул

n = N/V = N_Aρ/M,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; ρ – плотность вещества; V – объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Уравнение молекулярно-кинетической теории газов

,

где n – концентрация молекул; – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, m₀ – масса молекулы; – средняя квадратичная скорость.

Средняя энергия молекулы

,

где i – число степеней свободы; k – постоянная Больцмана.

Внутренняя энергия идеального газа

.

Скорости молекул:

а) средняя квадратичная

;

б) средняя арифметическая

;

в) наиболее вероятная

.

Средняя длина свободного пробега молекулы

,

где d – эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений молекулы в единицу времени

.

Распределение молекул в потенциальном поле сил

,

где Е_п – потенциальная энергия молекулы.

Барометрическая формула

.

Уравнение диффузии

,

где D – коэффициент диффузии; ρ – плотность; dS – элементарная площадка, перпендикулярная оси ОX.

Уравнение теплопроводности

dQ = –æ ,

где æ – теплопроводность.

Сила внутреннего трения

,

где η – динамическая вязкость.

Коэффициент диффузии

.

Вязкость (динамическая)

.

Теплопроводность

æ ,

где с_υ – удельная изохорная теплоемкость.

Молярная теплоемкость идеального газа

а) изохорная

;

б) изобарная

.

Связь между удельной с и молярной С теплоемкостями

c = С/М.

Уравнение Майера

С_р – С_V = R.

Первое начало термодинамики

dQ = dU + dA,

dU = νC_vdT,

dA = pdV.

Работа расширения газа при процессе

а) изобарном

А = р(V₂ – V₁) = νR(T₂ – T₁);

б) изотермическом

;

в) адиабатном

А = νС_v(T₁ – T₂) =

,

где γ = С_р/С_v.

Работа расширения газа в общем случае

.

Уравнения Пуассона

Термический КПД цикла

,

где Q₁ – теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; Q₂ – теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно

,

где Т₁ и Т₂ – термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника.

Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

.

Коэффициент поверхностного натяжения

α = F/l, или α = ΔE/ΔS,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; ΔE – изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади ΔS поверхности этой пленки.

Формула Лапласа, выражающая давление р, создаваемое сферической поверхностью жидкости

р = 2α/R,

где R – радиус сферической поверхности.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

,

где – краевой угол ( = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью; = π при полном несмачивании); R – радиус канала трубки; ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями

,

где d – расстояние между плоскостями.