Это означает, что rij есть разность между наилучшим значением в столбце Sj и фактическим значением Rij в том же столбце. Преобразованная матрица по Сэвиджу для предыдущего примера имеет вид:

	S	S
d1	1	0	1
d2	0	9,9	9,9

Таким образом, с учетом преобразования исходной матрицы по Сэвиджу минимаксный критерий дает вариант d₁.

Следует отметить, что независимо от того, является ли R_ij доходом или потерями, r_ij в обоих случаях определяет потери. Поэтому к новой матрице можно применить только минимаксный, а не максиминный критерий.

Рассмотрим теперь пример с матрицей потерь для авторемонтного предприятия. Соответствующая матрица получается вычитанием из каждого элемента столбцов 1, 2, 3, 4 соответственно 5, 7, 8, 15, то есть минимальных значений в столбцах.

	S1	S2	S3	S4
d1	0	3	10	10	10
d2	3	0	0	8	8
d3	16	11	4	6	16
d4	25	15	11	0	25

Несмотря на то, что здесь, как и в предыдущем примере использован минимаксный критерий, преобразование Сэвиджа привело к выбору другого решения (d₂ вместо d₃).

Критерий Гурвица. Данный критерий синтезирует различные подходы ЛПР к принятию решений от крайнего оптимизма до крайнего пессимизма.

При крайнем оптимизме выбирают решение, соответствующее условиям:

, если R_ij – доход;

, если R_ij – потери.

При крайнем пессимизме выбирают решение, соответствующее условиям:

, если R_ij – доход;

, если R_ij – потери.

Критерий Гурвица по существу представляет собой средневзвешенное значение между этими крайними вариантами. В качестве весов (коэффициентов значимости) используют  и (1-), где  изменяется в пределах от нуля до единицы. Параметр  интерпретируется как показатель оптимизма. Для случая крайнего оптимизма  = 1, для крайнего пессимизма  = 0.

Фактическое значение , принимаемое ЛПР, зависит от его склонности к оптимизму или пессимизму. При отсутствии таких крайних взглядов наиболее подходящим является значение  = 0,5.

Если R представляет собой доход, то по данному критерию выбирается действие:

[ ]

Если R представляет собой потери, то по данному критерию выбирается действие:

 

Практическое применение критерия Гурвица рассмотрим на том же примере с выбором проекта для строительства авторемонтного предприятия ( = 0,5). Расчеты показывают, что по данному критерию безразлично какой из проектов принять к реализации d₁ или d_{2 .}

	S1	S2	S3	S4
d1	5	10	18	25	5	25	0,5 5+0,5 25=15
d2	8	7	8	23	7	23	0,5 7+0,5 23=15
d3	21	18	12	21	12	21	0,5 12+0,5 21=16,5
d4	30	22	19	15	15	30	0,5 19+0,5 30=22,5

Дерево решений. Перечисленные критерии принятия решений в условиях риска позволяют сделать выбор из так называемых одношаговых, одноэтапных альтернатив. При этом полагают, что решения, принимаемые в будущем, не зависят от решений, принимаемых в данный момент.

Если взаимосвязанные решения принимают последовательно во времени, то такие процессы принятия решений представляют в виде графического дерева решений. Это делается с целью упорядочения процедуры перебора различных стратегий для поиска оптимальной. Принцип использования дерева решений рассмотрим на следующем примере.

Компания должна принять решение о строительстве крупного или небольшого предприятия. Небольшое предприятие, если это будет выгодно, впоследствии можно расширить. Решение в первую очередь зависит от предполагаемого спроса на продукцию, которую предприятие будет выпускать.

Строительство сразу крупного предприятия экономически эффективно при высоком уровне спроса, но с другой стороны, можно построить небольшое предприятие, а затем, в зависимости от результатов его работы, принять решение о расширении.

Естественно, что затраты при выборе каждой альтернативы будут разные. Компания рассматривает стратегический план на 10 лет.

Анализ конъюнктуры рынка показал, что вероятности высокого и низкого уровней спроса равны соответственно 0,75 и 0,25. Строительство крупного предприятия стоит 5 млн. руб., сравнительно небольшого - 1 млн. руб. Оценка затрат на расширение через 2 года составляет 4,2 млн. руб.

Необходимая информация для поиска оптимального решения должна включать:

• вероятности реализации каждой ветви, выходящей из случайной вершины;

• доходы или расходы, связанные с каждой возможной альтернативой.

Рассмотрим теперь годовые доходы для каждой альтернативы:

• крупное предприятие при высоком спросе дает 1 млн. руб. прибыли в год при низком спросе - 300 тыс.руб.;

• небольшое предприятие при высоком спросе дает ежегодно 250 тыс. руб. прибыли, при низком спросе - 200 тыс. руб.;

• расширенное предприятие при высоком спросе дает ежегодно 900 тыс.руб. прибыли, при низком спросе – 200 тыс.руб.;

Для оценки результатов используем критерий ожидаемого значения. Начинаем вычисления с шага 2. Для последующих 8 лет альтернативы, относящиеся к вершине 4, оцениваются следующим образом (рис. 5.2):

Чистая прибыль при расширении:

Пр = (900 0,75 + 200 0,25) 8 - 4 200 = 1600 тыс. руб.

Чистая прибыль без расширения:

Пбр = (250 0,75 + 200 0,25) 8 = 1900 тыс. руб.

Делаем вывод, что в вершине 4 выгоднее не расширять предприятие. При этом ожидаемая чистая прибыль равна 1,9 млн. руб., что на 300 тыс. руб. больше, чем при расширении.

Поэтому для дальнейшего анализа оставляем лишь одну ветвь, выходящую из вершины 4, которой соответствует вариант без расширения предприятия.

Далее переходим к вычислениям для решающей вершины 1.

Чистая прибыль для крупного предприятия:

Пкп = (1000*0,75 + 300*0,25) * 10 - 5000 = 3250 тыс. руб.

Чистая прибыль для небольшого предприятия:

Пнп = (250*0,75 + 200*0,25) * 10 - 1000 = 1375 тыс. руб.

Отсюда следует вывод, что оптимальным решением в начальной вершине 1 является решение о строительстве крупного предприятия. Естественно, что это решение делает излишним рассмотрение альтернатив в вершине 4.

1000

КП 300

900

1

р 200

4

250

бр

НП 200

200

2 года 8 лет

Рис. 5.2.Дерево решений (□ – решающая вершина;○ – случайная вершина)

Выбор варианта рискового портфеля. Теория выбора портфеля была создана Марковицем в пятидесятые годы прошлого века и развита позднее в работах Шарпа и Тобина. Полученные результаты отмечены Нобелевской премией и являются основой современных методов инвестиционного планирования в условиях риска, а также модели оценки стоимости финансовых активов (САРМ).

Выбор варианта портфеля заключается в определении оптимальной структуры набора (портфеля) ценных бумаг с учетом риска. Рассмотрим проблему выбора альтернативы в классической постановке.

Допустим, что сегодня инвестор имеет свободные денежные средства в размере 60 тыс. руб. На эти деньги он может приобрести акции трех видов, цена которых на данный момент (t=0) известна. Длительность планового периода составляет один год. Задача заключается в поиске оптимальной структуры портфеля акций по критерию «доходность-риск». Если бы не было неизбежных колебаний будущих поступлений (курсовая стоимость плюс дивиденды), то не было бы и проблемы принятия решения: надо просто рассчитать доходности по каждой акции и на все деньги купить самую доходную из них. Но поступления невозможно точно предсказать и в нашем распоряжении могут быть лишь вероятностные оценки этих поступлений (табл.5.1)

Таблица 5.1