22. Математическая основа карт. Понятие об искажениях, масштабах, координатах

Основа: а) геодезическая основа; б) масштаб; в) картографическая проекция; мб г) разграфка. Земля шарообразна, т.е. не обладает формой идеального шара. Фигура немного сплюснута у полюсов. фигуру на­шей планеты называют геоидом. Наилучшее геометрическое приближение к реальной фигуре Земли дает эллипсоид вращения — геометрическое тело, которое образуется при вращении эллипса вокруг его малой оси. Сжатие эллипсоида моделирует сжатие планеты у полюсов.. Нужно рассчитать геометрически правильную фигуру — референц-эллипсоид, который наилучшим образом приближен к геоиду и относительно которого будут вы­полняться все геодезические вычисления и рассчитываться кар­тографические проекции. Многие исследователи, пользуясь раз­ными исходными данными и методиками расчета, получают не­одинаковые результаты. Поэтому исторически сложилось так, что в разные времена и в разных странах были приняты и законода­тельно закреплены различные эллипсоиды, и их параметры не со­впадают между собой. Карты, составленные на основе разных эллипсоидов, получа­ются в несколько различающихся координатных системах, что со­здает неудобства. Однако для принятия единого международного эллипсоида требуется перевычислить координаты и пересоставить все карты, а это долгое, сложное и, главное, дорогостоящее дело. Несовпадения бывают заметны главным образом на крупномас­штабных картах при определении по ним точных координат объек­тов. Но на широко используемых географами средне- и мелкомас­штабных картах такие различия не очень чувствительны. Более того, иногда вместо эллипсоида берут шар и тогда в качестве среднего радиуса Земли принимают величину R = 6367,6 км. Погрешности при замене эллипсоида шаром оказываются столь малы, что никак не проявляются на большинстве географических карт. Для того чтобы добиться наименьших искажений, применяют также способ двойного проектирования: сперва эллипсоид проек­тируют на шар, а затем шар — на плоскость. При равновеликом отображении, когда площадь поверхности эллипсоида Красовско-го должна быть равна площади поверхности шара, радиус его ока­зывается равным R = 6 371 116 м. Масштабы карт. Масштаб карты — степень уменьшения объектов на карте отно­сительно их размеров на земной поверхности (точнее, на по­верхности эллипсоида). Строго говоря, масштаб постоянен только на планах, охваты­вающих небольшие участки территории. На географических картах он меняется от места к месту и даже в одной точке — по разным направлениям, что связано с переходом от сферической поверх­ности планеты к плоскому изображению. Поэтому различают глав­ный и частный масштабы карт. Главный масштаб показывает, во сколько раз линейные размеры на карте уменьшены по отноше­нию к эллипсоиду или шару. Этот масштаб подписывают на карте, но необходимо иметь в виду, что он справедлив лишь для отдель­ных линий и точек, где искажения отсутствуют. Частный мас­штаб отражает соотношения размеров объектов на карте и эллип­соиде (шаре) в данной точке. Он может быть больше или меньше главного. Частный масштаб длин показывает отношение длины бесконечно малого отрезка на карте к длине бесконечно малого отрезка на поверхности эллипсоида или шара, а частный мас­штаб площадей передает аналогичные соотношения бесконечно малых площадей на карте и эллипсоиде или шаре. В общем случае чем мельче масштаб картографического изоб­ражения и чем обширнее территория, тем сильнее сказываются различия между главным и частным масштабами. Масштаб указывается на картах в разных вариантах. Численный масштаб представляет собой дробь с единицей в чис­лителе, он показывает, во сколько раз длины на карте меньше соответствующих длин на местности (например, 1:1 000 000). Линейный (графический) масштаб дается на полях карты в виде ли­нейки, разделенной на равные части (обычно сантиметры), с подписями, означающими соответствующие расстояния на мест­ности. Он удобен для измерений по карте. Именованный масштаб указывает в виде подписи, какое расстояние на местности соот­ветствует одному сантиметру на карте (например, в 1 см 1 км). Картографические проекции. Картографическая проекция — это математически определен­ное отображение поверхности эллипсоида или шара (глобуса) на плоскость карты.

Проекция устанавливает однозначное соответствие между гео­дезическими координатами точек (широтой В и долготой L) и их прямоугольными координатами (Хи Y) на карте.

Теория картографических проекций составляет главное содер­жание математической картографии. В этом разделе разрабатывают методы изыскания новых проекций для разных территорий и раз­ных задач, создают приемы и алгоритмы анализа проекций, оцен­ки распределения и величин искажений. Особый круг задач связан с учетом этих искажений при измерениях по картам, переходом из одной проекции в другую и т. п. Компьютерные технологии позво­ляют рассчитывать проекции с заданными свойствами. Исходная аксиома при изыскании любых картографических про­екций состоит в том, что сферическую поверхность земного шара (эллипсоида, глобуса) нельзя развернуть на плоскости карты без искажений. Неизбежно возникают деформации — сжатия и растяжения, раз­личные по величине и направлениию. Именно поэтому на карте воз­никает непостоянство масштабов длин и площадей. Иногда искажения картографических проекций очень замет­ны, например очертания материков выглядят непривычно вытя­нутыми или сплющенными, а другие части изображения стано­вятся раздутыми. Искажаются не только размеры, но и формы объектов. В картографических проекциях могут присутствовать следую­щие виды искажений: а)искажения длин — вследствие этого масштаб карты непосто­янен в разных точках и по разным направлениям, а длины линий и расстояния искажены; б) искажения площадей — масштаб площадей в разных точках карты различен, что является прямым следствием искаже­ний длин и нарушает размеры объектов; в) искажения углов — углы между направлениями на карте ис­кажены относительно тех же углов на местности; г) искажения форм — фигуры на карте деформированы и не подобны фигурам на местности, что прямо связано с иска­жениями углов. Любая бесконечно малая окружность на шаре (эллипсоиде) предстает на карте бесконечно малым эллипсом — его называют эллипсом искажений. Для наглядности вместо бесконечно малого эллипса обычно рассматривают эллипс конечных размеров. Его размеры и форма отражают искажения длин, площадей и уг­лов, а ориентировка большой оси относительно меридиана и па­раллели — направление наибольшего растяжения. Большая ось эл­липса искажений характеризует наибольшее растяжение в данной точке, а малая ось — наибольшее сжатие, отрезки вдоль меридиа­на и параллели соответственно характеризуют частные масштабы по меридиану т и параллели п. В ряде проекций существуют линии и точки, где искажения отсутствуют и сохраняется главный масштаб карты — это линии и тонки нулевых искажений. Для наиболее употребительных проек­ций существуют специальные вспомогательные карты, на которых показаны эти линии и точки, а кроме того проведены изоколы — линии равных искажений длин, площадей, углов или форм. При определении размеров искажений в заданной точке можно вос­пользоваться картами изокол либо провести несложные измере­ния, а затем — вычисления по приведенным выше формулам. Классификация проекций по характеру искажений: а) равновеликие проекции сохраняют площади без искажений. Та­кие проекции удобны для измерения площадей объектов, однако, в них значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно для больших территорий; б) равноугольные проекции оставляют без искажений углы и фор­мы контуров, показанных на карте (ранее такие проекции называ­ли конформными). Элементарная окружность в таких проекциях всегда остается окружностью, но размеры ее сильно меняются. Такие проекции особенно удобны для определения на­правлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэто­му их всегда используют на навигационных картах. Зато карты, составленные в равноугольных проекциях, имеют значительные искажения площадей; в) равнопромежуточные проекции — произвольные проекции, в которых масштаб длин по одному из главных направлений посто­янен и обычно равен главному масштабу карты. Соответственно различают проекции равнопромежуточные по меридианам — в них без искажений остается масштаб вдоль меридианов, и равнопроме­жуточные по параллелям — в них сохраняется постоянным мас­штаб вдоль параллелей. В таких проекциях присутствуют искажения площадей и углов, но они как бы уравновешиваются; г) произвольные проекции — это все остальные виды проекций, в которых в тех или иных произвольных соотношениях искажаются и площади, и углы (формы). При их построении стремятся найти наиболее выгодное для каждого конкретного случая распределе­ние искажений, достигая как бы некоторого компромисса. Скажем, выбирают проекции с минимальными искажениями в центральной части карты, «сбрасывая» все сжатия и растяжения к краям.