7.3 Общий случай пересечения поверхностей

Общий случай пересечения поверхностей – происходит тогда, когда обе пересекающиеся поверхности занимают общее положение в пространстве относительно плоскостей пр-ий. Задачи решаются с помощью посредников. Посредники выбираются так, чтобы линии пересечения с данными поверхностями были наиболее простыми и просто строились на чертеже. К таким линиям относятся прямые и окружности.

Предположим, пов-ть ∑ пересек-ся с пов-тью Г. В качестве посредника выбираем пл-ть горизонтального уровня Q.

∑ ∩ Г  ℓ -?

Плоскость Q пересекает обе пов-ти по кривым линиям m и n. Эти линии, пересекаясь между собой, дают точки 1 и 2, принадлежащие Рис.40. одновременно 3 пов-ям,

а следовательно, и линии пресечения данных пов-тей ∑ и Г.

Определив указанным приёмом необходимое количество т-ек и соединив их в определённой последовательности с учётом видимости, получим искомую линию пересечения (ЛП) пов-тей.

На лп двух пов-тей определяют экстремальные точки (наинизшая и наивысшая), а также точки перехода видимости.

Алгоритм решения:

1. Выбор посредника Q.

2. ∑ ∩ Q  m (ЛП).

Г ∩ Q  n (ЛП).

m и n  разным поверхностям, но лежат в общей пл-ти Q.

3. m ∩ n  точка 1 и точка 2 (общие точки).

4. Определение видимости ЛП и поверхностей.

Задача1. Построить ЛП 2-х пл-тей общего положения ∑ и Г.

Поверхности ∑ и Г ∩ Q.

7.4 Пересечение прямой с поверхностью или плоскостью (основная задача нг)

Подобные задачи решаются с помощью посредников.

Задача1

Дано: ∑ - пов-ть (или пл-ть), в данном случае эллипсоид;

ℓ - прямая.

Рис.42.

Построить точки пересечения ∑ и ℓ.

Алгоритм решения задачи:

1. Через прямую ℓ проводим вспомогательную плоскость – посредник Г. ℓ  Г

2. Строится ЛП вспомогательной пл-ти Г с заданной пов-тью ∑:

Г ∩ ∑  m (ЛП)

3. Находятся точки пересечения А и В заданной прямой ℓ с построенной ЛП m:

ℓ ∩ m  А и В – точки пересечения.

4. Определяется видимость прямой ℓ.

Задача 1. Построить т-ку пересечения прямой ℓ с пл-тью общего положения, заданного ∆ АВС (рис.50.) (основная позиционная задача)

Решение:

Алгоритм решения задачи:

1). Выбор посредника

Q  π₂  Qπ₂  ℓ

2). Построение ЛП Q с заданной пл-тью ∆ АВС

Q ∩ ∑  (1₂ – 2₂)  (1₁ – 2₁) – ЛП

3). Опред. точки пересечения прямой с пл-тью

ℓ ∩ (1 - 2)  т. В

4). Опред. видимость прямой ℓ методом конкурирующих т-ек.

Рис.43.

Задача2. Построить точки пересечения прямой n с пов-тью сферы.

Решение:

Рис.44.