5.3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
Эмпирическое
уравнение регрессии определяется на
основе конечного
числа статистических данных. Поэтому
коэффициенты эмпирического уравнения
регрессии являются СВ, изменяющимися
от выборки к выборке. При проведении
статистического анализа перед
исследователем зачастую возникает
необходимость
сравнения эмпирических коэффициентов
регрессии
и
с
некоторыми теоретически ожидаемыми
значениями
и
этих коэффициентов. Данный анализ
осуществляется по
схеме статистической проверки гипотез.
Для
проверки гипотезы
,
используется
статистика
|
(5.12) |
,
которая при
справедливости
имеет распределение Стьюдента с
числом степеней свободы
,
где п — объем выборки. Следовательно,
отклоняется на основании данного
критерия, если
|
(5.13) |
,
где
— требуемый уровень значимости. При
невыполнении (5.13)
считается, что нет оснований для
отклонения
.
Наиболее
важной на начальном этапе статистического
анализа
построенной модели все же является
задача установления наличия линейной
зависимости между Y
и
X.
Эта
проблема может
быть решена по той же схеме:
,
.
Гипотеза в такой постановке обычно называется гипотезой о статистической значимости коэффициента регрессии. При этом, если принимается, то есть основания считать, что величина Y не зависит от X. В этом случае говорят, что коэффициент статистически незначим (он слишком близок к нулю). При отклонении коэффициент считается статистически значимым, что указывает на наличие определенной линейной зависимости между Y и X. В данном случае рассматривается двусторонняя критическая область, так как важным является именно отличие от нуля коэффициента регрессии, и он может быть как положительным, так и отрицательным.
Поскольку
полагается, что
,
то формально значимость оцененного
коэффициента регрессии
проверяется
с помощью анализа
отношения его величины к его стандартной
ошибке
.
При
выполнении исходных предпосылок модели
эта дробь имеет распределение Стьюдента
с числом степеней свободы
,
где п - число наблюдений. Данное отношение
называется t-статистикой:
|
(5.14) |
.
Для
t-статистики
проверяется нулевая гипотеза о равенстве
ее нулю. Очевидно,
равнозначно
,
поскольку t
пропорциональна
.
Фактически
это свидетельствует об отсутствии
линейной связи между X
и
Y.
По аналогичной схеме на основе t-статистики проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента :
|
(5.15) |
.Отметим, что для парной регрессии более важным является анализ статистической значимости коэффициента так как именно в нем скрыто влияние объясняющей переменной X на зависимую переменную Y.
При оценке значимости коэффициента линейной регрессии на начальном этапе можно использовать следующее «грубое» правило, позволяющее не прибегать к таблицам.
Если
стандартная ошибка коэффициента больше
его модуля
,
то коэффициент не может быть признан
значимым, так
как доверительная вероятность при
двусторонней альтернативной
гипотезе составит менее чем 0,7.
Если
,
то найденная оценка может рассматриваться
как относительно (слабо) значимая.
Доверительная вероятность
в этом случае лежит между значениями
0,7 и 0,95.
Если
,
то это свидетельствует о значимой
линейной
связи между X
и
Y.
В этом случае доверительная вероятность
колеблется от 0,95 до 0,99.
Наконец,
если
,
то это почти гарантия наличия линейной
связи.
Конечно,
в каждом конкретном случае имеет значение
число наблюдений.
Однако для
предложенное
«грубое»
правило практически всегда работает.