5.6. Проверка общего качества уравнения регрессии. Коэффициент детерминации r2

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии, которое оценивается по тому, как хорошо эмпирическое уравнение регрессии согласуется со статистическими данными. Другими словами, насколько широко рассеяны точки наблюдений относительно линии регрессии. Очевидно, если все точки лежат на построенной прямой, то регрессия Y на X «идеально» объясняет поведение зависимой переменной. В реальной жизни такая ситуация практически не встречается. Обычно поведение Y лишь частично объясняется влиянием переменной X.

Суммарной мерой общего качества уравнения регрессии (соответствия уравнения регрессии статистическим данным) является коэффициент детерминации . В случае парной регрессии коэффициент детерминации будет совпадать с квадратом коэффициента корреляции. В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле

,

(5.22)

Поясним смысл коэффициента детерминации. Пусть эмпирическое уравнение регрессии имеет вид: .

Тогда наблюдаемые (реальные) значения , отличаются от модельных на величину : .

Это соотношение можно переписать в виде:

или ,

(5.23)

где — отклонение i-й (наблюдаемой) точки от среднего значения зависимой переменной Y; — отклонение i-й точки на линии регрессии от ; — отклонение i-й точки от модельного значения , определяемого по линии регрессии. Все отклонения рассчитываются по оси зависимой переменной (рис.5.6).

Возведем обе части равенства (5.23) в квадрат и просуммируем полученные значения по объему выборки :

.

Известно, что . Тогда справедливо соотношение .

Очевидно, — общая (полная) сумма квадратов может интерпретироваться как мера общего разброса (рассеивания) переменной Y относительно . — объясненная сумма квадратов, интерпретируемая как мера разброса, объяснимого с помощью регрессии. — остаточная (необъясненная) сумма квадратов, являющаяся мерой остаточного, не объясненного уравнением регрессии разброса (разброса точек вокруг линии регрессии).

Разделив уравнение на его левую часть, получим:

.

Вводя обозначение

,

получаем формулу для коэффициента детерминации. При этом очевидно, что коэффициент детерминации определяет долю разброса зависимой переменной, объяснимую регрессией Y на X.

Дробь определяет долю разброса зависимой переменной, не объясненную регрессией Y на X.

Из проведенных рассуждений следует, что в общем случае справедливо соотношение .

Коэффициент детерминации является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная прямая регрессии дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной Y, чем горизонтальная прямая .

Проиллюстрируем связь между коэффициентом детерминации для парного уравнения регрессии и выборочным коэффициентом корреляции .

.