Перечень типовых задач по теме «Проективные координаты. Уравнение проективной прямой»
Предварительно необходимо изучить теоретические сведения по темам «Понятие проективного пространства», «Координаты точек на проективной плоскости», «Уравнение прямой на проективной плоскости. Координаты прямой».
На расширенной прямой
задан проективный репер
.
Построить точку а) М
(−2; 1); б) N
(1; 5).На расширенной прямой задан проективный репер
.
Построить точку К
(−3; 1).На расширенной прямой задан проективный репер
.
Построить точку Р
(3; 2).На расширенной прямой задан проективный репер
.
Построить точку Q
(1; 4).На расширенной плоскости дан проективный репер
.
Построить точки Р
(1; 2; 1), М
(1; 2; 0), N
(0; −4; 0).На расширенной плоскости дан проективный репер . Построить точки C (−3; 1; 2), Q (3; 0; 1), K (0; 0; 2).
На расширенной плоскости дан проективный репер
.
Построить точки M
(2;
4;
−1)
и N
(0;
1;
2).На расширенной плоскости дан проективный репер
.
Построить точки M
(2;
4;
−1)
и N
(0;
1;
2).Найти параметрические уравнения проективной прямой, проходящей через точки: а) А (2; 1; −1) и В (1; 0; 3); б) С (0; 5; 2) и D (4; 1; 3).
Найти общее уравнение и координаты проективной прямой, проходящей через точки: а) А (1; 0; 5) и В (−3; 1; 2); б) С (4; −1; 0) и D (0; 3; 0).
Выяснить взаимное расположение двух проективных прямых на проективной плоскости:
а)
и
;
б)
и
.
Выяснить, лежат ли точки на одной проективной прямой:
а) А (1; −1; 1), В (2; 1; 3), С (4; −1; 0);
б) М (0; 1; 2), N (3; 0; −1), K (2; 1; 1).
Найти координаты точек
,
и
в проективном репере
.
Перечень типовых задач по теме «Теорема Дезарга. Приложение к решению задач»
Предварительно необходимо изучить теоретический материал по темам «Различные модели проективной плоскости», «Принцип двойственности», «Теорема Дезарга».
Показать, что для любой точки конфигурации Дезарга можно подобрать такие два трёхвершинника этой же конфигурации, для которых данная точка будет дезарговым центром.
Сделать чертёж конфигурации Дезарга в случае, когда а) одна из вершин одного из дезарговых трёхвершинников несобственная; б) две вершины одного из дезарговых трёхвершинников несобственные.
На евклидовой плоскости дан произвольный четырёхугольник ABCD,
.
Через точку Р
проведена прямая
m,
,
.
Доказать, что точки пересечения прямых
AL
и
BK,
CK
и DL,
BC
и AD
лежат на одной прямой. Решить задачу
двумя способами.Точка Р принадлежит продолжению диагонали BD четырёхугольника ABCD. Через эту точку проведены прямые l и m;
,
,
,
.
Доказать, что прямые XZ,
YT
и
AC
проходят через одну точку. Решить задачу
двумя способами.ABCDE − произвольный пятиугольник,
,
,
.
Точки X
и Y
являются точками пересечения диагоналей
четырёхугольников ABKE
и EKCD
соответственно. Доказать, что точка Z
лежит на
прямой XY.
Решить задачу двумя способами.На евклидовой плоскости трапеция вписана в четырёхугольник так, что её параллельные стороны параллельны одной из его диагоналей. Доказать, что продолжения непараллельных сторон трапеции пересекаются на продолжении другой его диагонали.
На евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие − смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.
Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Прямая l параллельна стороне AB параллелограмма ABCD и пересекает сторону BC в точке M, AD − в точке K,
,
.
Доказать, что (XY)||(BC).На евклидовой плоскости даны две прямые a и b, пересекающиеся в точке, находящейся за пределами чертежа (такая точка называется недоступной), и точка M, им не принадлежащая. С помощью одной линейки провести прямую через точку M и точку пересечения прямых a и b. Выполнить анализ, построение и доказательство.
На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые l и m и точка Р, им не принадлежащая. Пользуясь одной линейкой, через точку Р провести прямую, параллельную прямым l и m. Выполнить анализ, построение и доказательство.
С помощью одной линейки через точку пересечения диагоналей параллелограмма провести прямые, параллельные его сторонам.