2.2. Корреляционное отношение.

В качестве показателя тесноты стохастической связи при решённой, либо решаемой задаче аппроксимации, используется величина, противоположная коэффициенту неопределённости:

(2.2)

Такая величина называется корреляционным отношением. Она является приближенной оценкой тесноты связи, поскольку, как и коэффициент неопределённости, не учитывает числа степеней свободы у используемых сумм квадратов разностей. Первая из них (в числителе) имеет n – 2 степеней свободы, так как линейная зависимость накладывает две связи, отвечающие двум параметрам a и b. Вторая сумма имеет n – 1 степень свободы, поскольку накладывается одна связь, определяемая средним. В итоге данная оценка оказывается смещённой (несколько завышенной), чем обычно пренебрегают, особенно при большом объёме выборки. Отметим, что программные средства обычно выводят не R, а R² и её несмещённую величину (Adjusted R²).

Корреляционное отношение R равно 0 при отсутствии связи (рис. 2А), когда коэффициент неопределённости равен 1. При функциональной связи корреляционное отношение максимально и достигает 1. В общем случае корреляционное отношение удовлетворяет неравенству 0 < R < 1.

Отметим возможность применения данной величины для многомерной и нелинейной зависимости, например, в случае

в ыражение для корреляционного отношения примет вид:

(2.3)

К недостаткам оценки силы связи с помощью корелляционного отношения R следует отнести необходимость предварительного построения модели для определения постоянных, входящих в формулу его вычисления.

В современных пакетах программ, ориентированных на статистический анализ данных, в том числе Statistica 6, уже встроена линейная, параболическая, логарифмическая и другие виды аппроксимации, что позволяет активно использовать корреляционное отношение в качестве оценки силы связи как при наличии одного, так и нескольких аргументов.

2.3. Коэффициент детерминации.

Реальность и теснота стохастической связи характеризуется показателем определённости, или коэффициентом детерминации, определяемым как отношение дисперсии зависимой переменной y, объяснённой моделью, к общей дисперсии этой переменной.

Иными словами, коэффициент детерминации есть доля дисперсии, объяснённой моделью, в общей дисперсии зависимой переменной и выражается в %.

Ф ормально коэффициент детерминации равен квадрату несмещённого значения корреляционного отношения, то есть в случае рассмотренной выше линейной зависимости коэффициент детерминации может быть представлен как

(2.4)

3. Парная линейная корреляция.

Центральное место в корреляционном анализе занимает парная линейная корреляция. Как было отмечено выше, если имеется пара переменных, то корреляция между ними – это мера связи (зависимости) именно между этими переменными.

На первый взгляд большинство нелинейных парных связей, то есть связей, не удовлетворяющих формуле можно, трансформируя переменные, заменить линейными зависимостями. В этом случае они стали бы доступными для простого в использовании инструментария, применяемого только для исследования линейных корреляций.

Скажем, нелинейную зависимость типа

можно преобразовать при помощи логарифмирования так:

е сли , то получим линейную зависимость следующего вида . Аналогично нелинейную функцию

можно выразить с помощью логарифмов так:

Е сли , то получим зависимость , которая также линейна.

Однако следует учитывать, что необходимым условием истинности линейной связи (и её оптимальности) является адекватность математическим свойствам эмпирической зависимости. Практически это означает, что область определения и нулевые значения линейной модели должны соответствовать искомой истинной зависимости и их проявлениям в эмпирических данных, которые могут иметь своей асимптотой только саму аппроксимирующую прямую.

Нетрудно заметить, что при переходе к логарифмам данное условие не выполняется, а значит, исследование нелинейных и многомерных корреляций требует своих, обычно более сложных методов.

Анализ же линейной корреляции между двумя переменными опирается на следующие инструменты математической статистики.