3.3. Интерпретация линейной корреляции.

Линейную стохастическую связь можно полагать реальной, если абсолютная величина коэффициента корреляции в 2-3 раза превышает стандартное отклонение оценки коэффициента. Невыполнение данного условия указывает на отсутствие линейной связи, однако не исключает линейной стохастической зависимости тех же переменных.

Значимая абсолютная величина коэффициента корреляции, в 2-3 раза превышающая стандартное отклонение оценки коэффициента, свидетельствует о значимом проявлении линейной составляющей стохастической связи, однако не исключает более тесной нелинейной стохастической зависимости.

Стохастическая связь (линейная или нелинейная), если она реальна, сама по себе не указывает на причинно-следственную связь переменных, даже при надёжном предсказании одной переменной по значениям другой. Здесь требуются дополнительные основания для выяснения, какой из признаков является причиной другого.

Вследствие этого, корреляционные зависимости приято подразделять на действительные(истинные) и мнимые(ложные).

Действительные корреляционные связи отражают причинные отношения между зависимой и независимой переменными, при этом различаются причинности:

• н епосредственные, например, в зависимости Z – числа междугородних телефонных переговоров от X – количества АТС, то есть ;

• ч ерез промежуточные переменные(одну или несколько) – в примере выше это может быть число телефонов Y в АТС .

Ложные корреляционные зависимости могут возникать между переменными, которые не находятся между собой в причинно-следственной связи.

3 .4. Расчёт коэффициента корелляции.

Коэффициент корреляции часто рассчитывается по приведённой выше формуле:

(3.7)

Данное выражение можно преобразовать алгебраически, в результате чего оно становится более удобным для числового расчета:

(3.8)

П ри небольшом количестве наблюдений ( ) расчёт производится непосредственно по этой формуле.

В случае большого числа наблюдений, вводим новые переменные:

После внесения результатов в корреляционную таблицу и введения новых переменных довольно легко рассчитать величину коэффициента корреляции по формуле:

(3.9)

где r – общее количество интервалов группирования переменной x;

s – общее количество интервалов группирования переменной y;

n_ik – количество наблюдений, значение переменной x которых лежит в i-том интервале группирования переменной x, а величина переменной y лежит в k-том интервале группирования переменной y.

3.5. Пример расчёта коэффициента корреляции при малом числе наблюдений.

Расчёт коэффициента корреляции при малом количестве наблюдений покажем на примере исследования зависимости между содержанием серы (S) в стали одной марки и прочностью на растяжение ( ). Всего было выбрано 13 плавок, из стали которых по одинаковой технологии изготовили стержни одного номинального диаметра. Расчёт необходимых величин

п риведён в таблице 1. Прежде всего рассчитывают среднеарифметическое и основное отклонение для обеих переменных:

Имея все необходимые величины, определим коэффициент корреляции:

Таблица 1 Расчёт коэффициента корреляции при малом числе наблюдений
S(%)	[кГ/мм2]
0,025 0,030 0,032 0,040 0,046 0,048 0,050 0,054 0,056 0,060 0,070 0,072 0,072	29,0 29,5 29,0 31,0 32,0 31,5 32,3 33,0 32,4 34,5 33,0 33,8 35,5	0,000625 0,000900 0,001024 0,001600 0,002116 0,002304 0,002500 0,002916 0,003136 0,003600 0,004900 0,005184 0,005184	841,00 870,25 841,00 961,00 1024,00 992,25 1043,29 1089,00 1049,76 1190,25 1089,00 1142,44 1260,25	0,7250 0,8850 0,9280 1,2400 1,4720 1,5120 1,6150 1,7820 1,8144 2,0700 2,3100 2,4336 2,5560

Мы видим, что величина коэффициента корреляции положительная и близкая к единице; это значит, что в данном случае существует тесная взаимосвязь между содержанием в стали серы и прочностью на растяжение.

Однако следует помнить, что величина коэффициента корреляции была установлена на основании определённой выборки, в данном случае относительно небольшого объёма. Следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым только предположив, что распределение эмпирических данных является нормальным.

При проведении более требовательного статистического анализа на основе малой выборки, то есть когда нельзя проверить, подчиняется ли распределение нормальному закону, переходят к альтернативному показателю тесноты связи, как это будет показано далее.