11. Изменение энтропии при изопроцессах с идеальным газом

Из определения энтропии (8.41) и первого начала термодинамики получим:

.

Далее, из уравнения Менделеева-Клапейрона следует ; а приращение внутренней энергии идеального газа равно , тогда

,

. (8.47)

Из (8.47) видно, что энтропия увеличивается при расширении газа и при его нагревании.

Для изохорного процесса , тогда . Также для изохорного процесса , следовательно,

. (8.48)

Для изобарного процесса , и . Воспользуемся уравнением Майера: , тогда

,

. (8.49)

Для изотермического процесса , , тогда

. (8.50)

При адиабатическом процессе нет теплообмена системы с окружающей средой, и , тогда по определению (8.41) .

В таблице 8.1 систематизированы все полученные результаты для изменений термодинамических величин при обратимых изопроцессах с идеальным газом; здесь – показатель Пуассона.

Таблица 8.1.

Изменение термодинамических величин при изопроцессах с идеальным газом.

Процесс Уравнение процесса	Первое начало термо-динамики	ΔA	ΔU	ΔQ	ΔS
T=const Изотерма		;	0	;	;
V=const Изохора		0	;	;	;
P=const Изобара		;	;	;	;
S=const Адиабата		;		0	0

12. T-S-диаграмма. Доказательство теоремы Карно

Из определения энтропии (8.41) следует

.

П роинтегрировав это выражение, можно найти количество теплоты , полученной системой при переходе из состояния с энтропией, равной S₁, в состояние с энтропией S₂:

. (8.51)

В соответствии с (8.51) количество теплоты можно найти как площадь под графиком функции в пределах от S₁ до S₂ (рис.8.12).

Используя T-S-диаграмму, можно доказать теорему Карно. Первая часть теоремы Карно гласит:

1) КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя и охладителя:

. (8.38)

Доказательство:

На рис.8.13 изображён цикл Карно в осях T-S. Процесс 1→2 – это изотермическое расширение при температуре T₁ нагревателя (энтропия при расширении возрастает); 3→4 – это изотермическое сжатие при температуре T₂ охладителя (энтропия уменьшается). Процесс 2→3 – это адиабатическое расширение (температура при этом понижается), 4→1 – адиабатическое сжатие (температура повышается). КПД теплового двигателя равен

, (8.37)

где Q₁ – количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя, Q₂ – количество теплоты, отданной рабочим телом охладителю. Пользуясь свойством T-S-диаграммы, из графика рис.8.13 определим Q₁ – это площадь под отрезком 1-2 (горизонтальная штриховка):

. (8.52)

Аналогично, Q₂ – это площадь под отрезком 3-4 (вертикальная штриховка):

. (8.53)

Тогда получим:

.

Вторая часть теоремы Карно:

2) КПД любого обратимого цикла не больше КПД цикла Карно с теми же температурами нагревателя и охладителя:

. (8.54)

Доказательство:

Рассмотрим произвольный обратимый цикл abcda (рис.8.14) с температурами нагревателя и холодильника Т₁ и Т₂ соответственно. На T-S-диаграмме опишем цикл Карно 12341 как прямоугольник вокруг обратимого цикла. КПД обратимого цикла

,

где Q₁ – количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя, равно площади под кривой abc и не больше площади под изотермой 1→2 цикла Карно:

.

Q₂ – количество теплоты, отданной рабочим телом нагревателю, равно площади под кривой adc и не меньше площади под изотермой 3→4 цикла Карно:

.

Тогда получим:

.

Третья часть теоремы Карно:

3) КПД любого необратимого цикла меньше КПД цикла Карно с теми же температурами нагревателя и охладителя:

. (8.40)

Доказательство:

Рассмотрим необратимый цикл с температурами Т₁ и Т₂ нагревателя и холодильника соответственно. Из-за необратимости максимальная температура рабочего тела Т_1Р.Т. будет меньше Т₁, а минимальная Т_2Р.Т. – больше Т₂:

, .

Тогда

.