Расчетная часть

Задача 1.Дан график функции распределения F(x) случайной величины X:

Определите вероятности следующих событий: Р₁ = Р(Х  a), Р₂ = Р(0  Х  a), Р₃ = Р(Х > 0), Р₄ = Р(Х < 0), Р₅ = Р(Х = 2a). Найдите аналитическое выражение функции плотности вероятности f(x). Определите значения математического ожидания М(Х) и СКО .

Решение: F(x) = Р(X < x) [= P(X  x) для непрерывных величин];

По формуле 13 найдем вероятность попадания случайной величины:

Р(x₁  Х  x₂) = F(x₂) – F(x₁);

в первый интервал: Р₁ = 0,5;

во второй: Р₂ = 0;

в третий: Р₃ = Р(0 < Х < +) = F(+) – F(0) = 0,5;

в четвертый: Р₄ = Р(– < Х < 0) = F(0) – F(–) = 0,5;

в пятый: Р₅ = 0.

По формуле 16 найдем плотность распределения вероятностей:

f(x) = dF/dx;

f(x) = 0 при x < –2a , –a < x < a, x > 2a;

f(x) = 0,5 / a при –2a  x  –a, a  x  2a;

По формуле 21 найдем математическое ожидание случайной величины:

М(Х) = (0,5 / 2a) (a² – 4a² + 4a² – a²) = 0

Для нахождения СКО  нам потребуется для начала найти дисперсию случайной величины по формуле 23:

D(Х) [x – M(X)] ² f(x) dx = (0,5 / 3a) (–a³ + 8a³ + 8a³ – a³) = 7a² / 3

А теперь можно найти и СКО :

σ = =  1,53a;

Ответ: М(Х) = 0,   1,53a

Задача 2. Случайная погрешность  распределена по закону равномерной плотности. Известны значения вероятностей двух событий — Р₁ и Р₂. Р₁ = Р(< –5 мкВ) = 0,3; Р₂ = Р( > 5 мкВ) = 0,2. Определите значения дисперсии D() и вероятности Р₃ = Р( > 0).

Р ешение:

плотность вероятности f(x) = const = 1 / (_в – _н);

Р₁ = f(x) dx = (–5 мкВ – _н) / (_в – _н);

Р₂ = f(x) dx = (_в – 5 мкВ) / (_в – _н);

Р₁ + Р₂ = (_в – _н – 10 мкВ) / (_в – _н) = 1 – 10 мкВ / (_в – _н);

_в – _н = 10 мкВ / (1 – Р₁ – Р₂) = 20 мкВ;

_в = Р₂ (_в – _н) + 5 мкВ = 9 мкВ;

_н = –11 мкВ;

Математическое ожидание: М() = (_в + _н) / 2 = –1 мкВ;

Дисперсия: D() = (_в – _н)² / 12  33 мкВ²;

Р₃ = f(x) dx = _в / (_в – _н) = 0,45.

Ответ: D() =33мкВ , Р₃ = 0,45.

Задача 3. Сопротивление R составлено из параллельно включенных сопротивлений R1 и R2, математические ожидания и средние квадратические отклонения которых известны: m₁ = 12 Ом; m₂ = 15 Ом; ₁ = 1 Ом; ₂ = 0,5 Ом. Найдите математическое ожидание m_R и среднюю квадратическую погрешность _R сопротивления R.

Решение. При параллельном соединении

R = R1 R2 / (R1 + R2)

Воспользуемся формулами для нахождения математического ожидания m_у и среднего квадратического отклонения _у

m_у = F (m_у1, m_у2, …, m_уn)

n

_у =   (F / y_i)²_m ²_yi,

i = 1

где (F / y_i)_m - частная производная функции F (у₁, у₂, …, у_n) по y_i, взятая в точке (m_у1, m_у2, …, m_уn).

Тогда

m_R = m₁ m₂ / (m₁ + m₂) = 12 15 / (12 + 15) = 6,67 Ом.

Для нахождения _R вычислим сначала частные производные:

(R / R1)_m = (R2 / R1 + R2)²_m =( m₂ / m₁+ m₂ )² = 0,31,

(R / R2)_m = (R1 / R1 + R2)²_m =( m₁ / m₁+ m₂ )² = 0,20.

Далее вычислим среднюю квадратическую погрешность _R:

_R =  (R / R1)²_m ²₁+ (R / R2)²_m ²₂ =  0,31²  1² + 0,2²  0,5² = 0,33Ом.

Ответ: m_R=6,67 Ом, _R=0,33 Ом.

Задача 4. Определите относительную погрешность измерения в начале шкалы (для 30 делений) для прибора класса 0,5, имеющего шкалу 100 делений. Насколько эта погрешность больше погрешности на последнем – сотом делении шкалы прибора?

Решение. Для прибора класса 0,5 относительная приведенная погрешность (на 100 делений шкалы):

 = (0,5  100) / 100 = 0,5%.

Относительная погрешность измерения в начале шкалы (на 30 делений шкалы):

_зо = (0,5  100) / 30 = 1,6%.

_зо  _пр более чем в 3 раза

Ответ: _зо=1,6%, эта погрешность более чем в 3 раза больше погрешности на последнем – сотом делении шкалы прибора.

Задача 5. При поверке ваттметра на постоянном токе действительное значение мощности Р измеряют потенциометром. При этом отдельно измеряют (с помощью шунта) ток в последовательной цепи ваттметра и (с помощью делителя) напряжение в параллельной цепи. Известно, что пределы допускаемых погрешностей для элементов, участвующих в измерениях, следующие: п потенциометра 0,005%; н нормального элемента 0,005%; д делителя напряжения 0,005%; ш шунта 0,01%. Определите относительную погрешность измерения мощности.

Решение. Действительное значение мощности определяется в соответствии с зависимостью

Р = Uд Uш / Кд Rш,

где Uд, Uш – напряжения на делителе и шунте; Кд – коэффициент деления делителя; Rш – сопротивление шунта.

Погрешность измерения напряжения складывается из погрешности потенциометра и погрешности нормального элемента.

Р =  (2п)² + (2н) ² + (д) ² + (ш) ² =  (2 0,005) ² + (2 0,005) ² + 0,005² + 0,01² = 0,018%

Ответ: Р=0,018%.

ВЫВОД

Безусловно, измерения в жизни человека имеют большое значение. Где бы мы не находились, чем бы не занимались мы все время что то измеряем, будь то время на часах или километраж на машине.

В этой курсовой работе представлена лишь небольшая часть теории погрешностей и математических моделей.

Начнем с того, что в данной работе мы выяснили, что такое истинное значение физической величины: разница между результатом единичного наблюдения, случайной и систематической погрешностями; значение, идеальным образом отражающее свойство данного объекта, как в количественном, так и в качественном отношении.

Р

По характеру проявления

• случайные

• систематические

• прогрессирующие

• грубые

По способу выражения

• абсолютные

• относительные

• приведенные

В зависимости от места возникновения

• инструментальная

• методическая

• субъективная

ассмотрели основную теорию погрешностей, предоставив небольшую классификацию погрешностей.