§ 18. Скалярное произведение векторов

Vⁿ

Пусть в Eⁿ введена декартова система координат.

Определение. Скалярным произведением векторов и будем назвать число, которое равно сумме произведений соответствующих координат векторов и .

Обозначение:

n = 1	=	xa xb
n = 2		xa xb + ya yb
n = 3		xa xb + ya yb + za zb

Замечания.

1) Ясно, что скалярное произведение – это отображение Vⁿ  Vⁿ  R.

2) Пока не доказано, что скалярное произведение векторов не зависит от выбора декартовой системы координат. Возможно ли, что, вычислив скалярное произведение двух векторов в разных системах координат, мы получим различные результаты?

Теорема. (Свойства скалярного произведения)

1) Симметричность: = для любых векторов ,  Vⁿ ;

2) Линейность по первому аргументу:

( + ) = + для любых векторов , ,  Vⁿ,

( ) =  для любых векторов ,  Vⁿ, для любого числа   R;

3) Линейность по второму аргументу:

( + ) = + для любых векторов , , Î Vⁿ,

( )= l для любых векторов , Î Vⁿ, для любого числа l Î R;

4) = | |² для любого вектора  Vⁿ;

5)  = 0 для любого  Vⁿ.

Доказательство.

Свойства (1) – (3) непосредственно следуют из свойств суммы и произведения действительных чисел.

(4) Пусть = ( ), тогда = | |²= | |² (для n = 3: = x² + y² + z² = | |²)

(5) Пусть = ( ), тогда  =  = 0 (для n = 3:  = 0x + 0y + 0z = 0)

Замечания.

1) Отображение Vⁿ ´ Vⁿ ® R, обладающее свойствами (1) – (3) называется симметричной билинейной формой. Непосредственно из свойства (4) следует, что скалярный квадрат любого вектора – неотрицательное число, и он равен нулю только для нулевого вектора. Последнее означает, что скалярное произведение – это симметричная невырожденная положительно определённая билинейная форма.

2) Свойство (4) показывает, что скалярный квадрат любого вектора не зависит от выбора декартовой системы координат в Eⁿ, так как длина вектора не зависит от этого выбора.

Теорема. (Корректность определения скалярного произведения)

Скалярное произведение не зависит от выбора декартовой системы координат.

Доказательство.

Пусть ,  Vⁿ.

Рассмотрим скалярное произведение ( + )( + ):

( + )( + ) = | + |² (по свойству (4))

( + )( + ) = + + + = | |² + 2 + | |² (по свойствам (1) – (4))

Так, что = 1/2 (| + |² - | |² - | |²)

Видно, что значение правой части равенства не зависит от выбора системы координат, так что значение и левой части равенства (то есть скалярное произведение векторов и ) не зависит от выбора системы координат.

Определение. Углом между двумя ненулевыми векторами ,  Vⁿ будем называть угол AOB, где точки O,A,B  Eⁿ такие, что = , = .

РИС. 29

Замечание.

Угол между ненулевыми векторами не зависит от выбора точки O, от которой откладываются эти векторы.

Определение. Два вектора будем называть ортогональными, если хотя бы один из них нулевой или угол между ними прямой.

Обозначение: 

Теорема.(Геометрический смысл скалярного произведения).

Для любых двух ненулевых векторов ,  Vⁿ

= | | | | cos , где j – угол между векторами и .

Доказательство.

Будем считать, что n = 3. Для остальных случаев доказательство аналогично.

Введем декартову систему координат такую, что = (| |, 0, 0), = (| |cosj, | |sinj, 0).

Тогда по определению скалярного произведения = | | | | cosj.

Замечание.

При доказательстве данной теоремы существенно использовалось то, что значение скалярного произведения не зависит от выбора системы координат.

Следствие.   = 0

Доказательство.

1) Пусть ^ , тогда =  или =  или  = , где j – угол между векторами и .

Тогда | | = 0 или | | = 0 или cosj = 0, то есть = 0

2) Пусть = 0, то есть | | | | cos j = 0. Значит | | = 0 или | | = 0 или cosj = 0 , то есть = q или = q или j = , следовательно, ^ .

Следствие.(Неравенство Коши-Буняковского).

| |  | | | | для любых двух векторов , Î Vⁿ .

Доказательство.

1) Для ненулевых векторов: | | = | | | | |cosj|  | | | |, так как |cosj|  1 .

2) Если =  или = , то = 0 и | | | | = 0, так что неравенство справедливо и в этом случае.

Замечание.

Итак, | |² | |² - | |²  0, более того, ясно, что | |² | |² - | |² = 0  | | .

Определение. Базис пространства Vⁿ называется ортонормированным, если векторы этого базиса имеют длину 1 и попарно ортогональны.

То есть базис = (e₁ e₂ … e_n) ортонормированный тогда, и только тогда, когда (где i,j  {1,2,…,n})

Замечание.

Ясно, что декартова система координат – это аффинная система координат с ортонормированным базисом. Поэтому матрица перехода от одной декартовой системы координат к другой декартовой системы координат – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Можно доказать, что:

(1) для таких базисов матрица обратного перехода получается из матрицы перехода операцией транспонирования (строки одной матрицы становятся столбцами другой матрицы);

(2) определитель такой матрицы перехода по модулю равен 1.

Условие (1) является необходимым и достаточным для того, чтобы матрица бала матрицей перехода между декартовыми системами координат.

Условие (2) является необходимым, но не достаточным для того, чтобы матрица бала матрицей перехода между декартовыми системами координат.