§ 22. Аналитическое задание множества

Определение. Под фигурой в Eⁿ будем понимать любое подмножество Eⁿ.

Пусть в Eⁿ задана аффинная система координат (Случаи других систем координат аналогичны и рекомендуются для самостоятельного рассмотрения).

22.1. Задание множества уравнением.

Определение. Будем говорить, что уравнение F(x,y,z) = 0 задает фигуру Ф, если:

(1) Координаты любой точки фигуры Ф являются решением данного уравнения;

(2) Любая точка, координаты которой являются решением данного уравнения, принадлежит фигуре Ф.

Замечания.

1) Выражение F(x,y,z) в данном определении – это любое аналитическое выражение, связывающее переменные x,y,z.

2) Ясно, что в случае плоскости или прямой рассматриваются выражения от двух (соответственно) от одной переменной.

3) Данное определение можно сформулировать и на языке предикатов, действительно, речь идет о том, что множество истинности предиката F(x,y,z) = 0 совпадает с фигурой Ф. С этой точки зрения, два пункта определения описывают два включения и, собственно, определяют равенство двух множеств.

Пример. Уравнение окружности на плоскости.

Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Пусть  - окружность с центром в точке Q (x₀, y₀) и радиусом r. Докажем, что окружность  задается уравнением (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

1) Пусть точка M (x_m, y_m)  . По определению окружности |QM| = r, то есть |QM| ² = r² . Запишем последнее равенство в координатах: (x_m - x₀)² + (y_m - y₀)² = r².

Итак, координаты любой точки окружности удовлетворяют заданному уравнению.

2) Пусть точка N(x_n, y_n) такая, что (x_n - x₀)² + (y_n - y₀)² = r². Покажем, что N  .

|QN| ² = (x_n - x₀)² + (y_n - y₀)² = r², то есть |QN| = r и N  .

22.2. Задание множества неравенством.

Определение. Будем говорить, что неравенство F(x,y,z) > 0 (или F(x,y,z)  0 задает фигуру Ф, если:

(1) Координаты любой точки фигуры Ф являются решением данного неравенства;

(2) Любая точка, координаты которой являются решением данного неравенства, принадлежит фигуре Ф.

Замечания.

1) Ясно, что в случае плоскости или прямой рассматриваются выражения от двух (соответственно) от одной переменной.

2) Данное определение можно сформулировать и на языке предикатов.

3) Неравенства «< 0» и « 0» не рассматриваются в определении, так как их можно привести к указанному случаю умножением на (-1).

Пример.

Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Докажем, что круг с центром в точке Q (x₀, y₀) и радиусом r задается неравенством (x - x₀)² + (y - y₀)²  r².

1) Пусть точка M (x_m,y_m) – точка круга. Тогда по определению круга |QM|  r, то есть |QM|² < r². Так как |QM|² = (x_m- x₀)² + (y_m - y₀)², то (x_m - x₀)² + (y_m - y₀)² £ r².

2) Пусть точка N (x_n, y_n) такая, что (x_n - x₀)² + (y_n - y₀)² £ r². Так как |QN|² = (x_n - x₀)² + (y_n - y₀)², то |QN|²  r², следовательно, |QN|  r и точка N – это точка данного круга.

22.3. Задание множества системой уравнений/неравенств.

Определение. Будем говорить, что система уравнений или неравенств задает фигуру Ф, если:

(1) Координаты любой точки фигуры Ф являются решением каждого уравнения (неравенства) данной системы;

(2) Любая точка, координаты которой являются решением каждого уравнения (неравенства) данной системы, принадлежит фигуре Ф.

Пример.

Система неравенств на плоскости в декартовой системе координат задает полукруг в первой и второй четвертях.

РИС. 32