Теореме Пифагора

И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

Очерки о математиках. Пифагор

(около 570 — около 500 гг. до н. э.)

Письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним сви­детельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Извест­но, что Пифагор покинул свой родной ост­ров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании пра­вителя и уже в зрелом возрасте (по преда­нию, в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне, на юге Италии. Пифагор и его последователи – пифагорейцы образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – пентаграмме.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока, был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой. Математика стала важнейшей частью его учения.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, вос­принимались как совершенные (6, 28, 496. 8128), дружественными называли пары чи­сел, из которых каждое равнялось сумме де­лителей другого (например, 220 и 284). Пи­фагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел по­нятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одно­го равнялся сумме квадратов двух других.

Пифагору приписывается высказывание: «Всё есть число». К числам (а он имел в виду лишь натуральные числа) он хотел свес­ти весь мир и математику в частности. В самой школе Пифагора было сделано от­крытие, нарушавшее гармонию. Было до­казано, что √2 не является рациональ­ным числом, т. е. не выражается через на­туральные числа.

Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике, это ярко проя­вилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения чис­ленных методов в геометрии. (Позже Ев­клид вновь вывел на первое место геомет­рию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тет­раэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, созда­ние планиметрии прямолинейных фигур, учения о подобии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях.

Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг Солнца. Когда в XVI в. церковь начала ожесточен­но преследовать учение Коперника, это уче­ние упорно именовалось пифагорейским.

Пьер ферма

(1601—1665)

Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма заниматься матема­тикой. Постепенно он приобрел славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов еще не бы­ло), ограничиваясь лишь письмами к колле­гам. Среди них были Р. Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие. Он соперничал с французским ученым Р. Декартом в создании аналитической геометрии, общих методов решения задач на максимум и минимум. Его приемы построения касательных к кри­вым, вычисления площадей криволинейных фигур, вычисления длин кривых прокладывали дорогу к созданию дифференциального и интегрального исчислений. С переписки П. Ферма и Б. Паскаля отсчитывает свою историю теория вероятностей. Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наимень­шее время (впрочем, Ферма считал, что ско­рость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). Однако больше всего прославили Ферма работы по теории чисел.

Математики Древней Греции со времен Пифагора коллекционировали диковинные факты о конкретных натуральных числах, иногда очень больших, но теорем о числах не доказывали (за несколькими исключе­ниями). Лишь древнегреческий математик Диофант (III в. н. э.) написал книгу «Арифметика», в которой были и отрицательные числа, и элементы символики, но, прежде всего, многочисленные факты о решении в целых числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (их стали назы­вать диофантовыми). Эта книга (не полно­стью) стала известна в Европе в XVI в., а в 1621 г. она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ученый постоянно интересовался ариф­метическими задачами, обменивался слож­ными задачами с современниками. Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на законо­мерности натуральных чисел – арифмети­ческие теоремы. Несомненно, влияние Дио­фанта на Ферма, символично, т. к. он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики». Заметки и письма – вот и все что осталось от занятий Ферма арифметикой. Ферма обнаружил, что число 2^р-1-1 при простом р всегда делится на р ,а число 2² + 1 простое при k ≤ 4. Он решил, что эти числа простые при всех k. но Л. Эйлер впоследствии показал, что при k =5 имеется делитель 641. П. Ферма высказал гипотезу о том, что простые числа вида 4k-1 представляются в виде суммы квадратов (5 = 4 + 1; 13 = 9 + 4), а вида 4k + 3 – нет.

Ферма занимают «невозможные» зада­чи – задачи, не имеющие решений. Он об­наружил, что нельзя найти прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, у которого площадь – точный квадрат. Самое знаменитое утверждение о "невозможно­сти" – великая теорема Ферма. С работ Фер­ма началась новая математическая наука – теория чисел.