Домашнее задание:

1. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черного и белого ферзей, чтобы они не били друг друга?

(Аналогично задаче про королей получается несколько случаев)

( 1176 + 800 + 456 + 144 = 2576 способов)

2. В магазине «Канцелярские товары» имеются в продаже шесть видов цветных карандашей, семь видов красок и пять видов цветной бумаги. Сколькими способами можно составить комплект для уроков художественного труда, состоящий из коробки цветных карандашей, красок и набора цветной бумаги?

(6•7•5 = 210 способов)

Занятие 5 -6. ( 15 ноября – 29 ноября, 2007 года )

Введение в комбинаторику:

1. Теоретическая часть.

2. Решение задач.

Занятие 7. ( 27 декабря, 2007 года )

Выборки объема n:

1. Теоретическая часть.

2. Решение задач.

Занятие 8. ( 18 января, 2007 года )

Перестановки из n элементов:

1. Теоретическая часть.

2. Решение задач.

Занятие 9. ( 1 февраля, 2007 года )

Размещения из n элементов по k:

1. Теоретическая часть.

2. Решение задач.

Занятие 10. ( 15 февраля, 2007 года )

Число k слов n буквенного алфавита:

1. Теоретическая часть.

2. Решение задач.

Занятие 11 - 12. ( 1 марта – 15 марта, 2007 года )

Сочетания из n элементов по k:

1. Теоретическая часть.

2. Решение задач.

Занятие 13 - 14. ( 5 апреля – 19 апреля, 2007 года )

Сочетания из n элементов по k элементам с повторениями:

1. Теоретическая часть.

2. Решение задач.

Занятие 15. ( 3 мая, 2007 года )

Треугольник Паскаля.

1. Теоретическая часть.

2. построение треугольника Паскаля.

Занятие 16. ( 17 мая, 2007 года )

Подведение итогов работы кружка:

1. Обобщение изученного материала.

2. Оценка сложности и роли изученного материала в применении на практике.

Факультативные занятия по математике.

В качестве новой формы внеклассной работы в старших классах были введены факультативные занятия.

Главная цель: углубление и расширение программных знаний учащихся, развитие интереса школьника к предмету, их ознакомление с некоторыми общими идеями современной математики, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Тематическое планирование факультативных занятий на 1 полугодие.

(1 занятие в неделю). Алгебра , 9 класс.

1. Метод математической индукции. (5 сентября, 2007).

2. Последовательности. (12 сентября, 2007).

3. Создание первых таблиц. (19 сентября, 2007).

4. Номограммы с параллельными логарифмическими шкалами.(26 сентября, 2007).

5. Логарифмическая линейка. Выпрямление криволинейных графиков.(3 октября, 2007).

6. Правильные многоугольники. (10 октября, 2007).

7. Инверсия. Построение образов точек и фигур при инверсии. (17 октября, 2007).

8. Решение задач методом инверсии. Основные свойства инверсии (24 октября, 2007).

9. Длина окружности и площадь круга. (14 ноября, 2007).

10.–11. Сечение куба плоскостью. (21 ноября, 28 ноября, 2007).

12. Из истории тригонометрии. (5 декабря, 2007).

13. Практическое применение тригонометрии. (12 декабря, 2007).

14. Практические задачи на материале программы 9 класса. (19 декабря, 2007).

15. Заключительное факультативное занятие. (26 декабря, 2007).

Конспект 7-го занятия факультативных занятий:

Инверсия:

В школьном курсе геометрии изучаются такие преобразования плоскости, как движение, подобие, гомотетия и другие. Все эти преобразования представляют интерес для геометрии и имеют достаточно широкое применение при решении задач (особенно, преобразование подобия). Но все эти преобразования переводят прямую в прямую. Однако существует и другое преобразование, которое прямую может перевести в какую-либо другую фигуру. В частности, в окружность. Оно называется инверсией. Таким образом, инверсия позволяет при решении многих задач и доказательстве теорем переходить от сложных фигур(например, окружности) к более простым. Это важное свойство инверсии эффективно используется при решении многих геометрических задач. В частности, при решении задач на построение, связанных с касанием различных фигур.

Инверсией называется преобразование, которое каждой точке А ставит в соответствие точку А' таким образом, чтобы А'  ОА и ОА·ОА' = r².

Построение образов точек при инверсии:

Рассмотрим алгоритм построения образов точек при инверсии.

Образы точек при инверсии будем обозначать А' =  _s (A).

Пусть нам дана окружность S с центром O и радиусом r.

Условимся обозначать:

1. [OA) – луч;

2. (OA) – прямая;

3. [OA] – отрезок;

4. p – перпендикуляр;

• П усть точка А – внутренняя точка

окружности S:

1. [OA);

2. p : [МA]  [OA];

3. (МA) – касательная к окружности S в точке М;

4. А' : (МA') ∩ [OA);

А' – образ точки A при инверсии относительно окружности S.

• П усть теперь точка А лежит

в не окружности S:

1. (OA);

2. (МA) – касательная к окружности S , проходящая через точку А, М – точка касания;

3. p : [МA']  [OA];

4. A' : p ∩ (OA);

А' – образ точки A при инверсии относительно окружности S.

Инверсия ещё интересна и тем, что является более общим случаем симметрии. То есть, знакомая нам симметрия относительно прямой – частный случай инверсии, если прямую рассматривать как окружность бесконечного радиуса. Таким образом, преобразование инверсии представляет особый интерес для геометрии, так как обладает рядом удивительных и, в то же время, полезных свойств. Очень интересно наблюдать, как преображаются при инверсии привычные для нас фигуры в красивые сочетания других фигур. Ведь не просто же так inversio – обращение, преображение.

Решение задач:

1. Построить образ квадрата, если окружность инверсии:

а) вписана в него:

б) описана около него.

Решение:

a)

1. П

   усть АВ = ВС = CD = AD = a.

Б удем рассматривать ℑ_s ^а/2.

2. Т очки K,L,M,N S => они инвариантны.

3. ℑ _s ^а/2(А) = А', K – инвариантная. Так как по 3 свойству инверсии образом прямой AD будет окружность, проходящая через центр инверсии, то точка О – третья точка, необходимая для построения образа. По трём точкам А', K, О строим окружность S₁.

4. А налогично строим образы для остальных трёх прямых.

5. П олучаем искомую фигуру – образ квадрата АВCD.

б)Аналогично п. а) будем находить образы трёх точек каждой из сторон квадрата. Только в отличии от п. а), инвариантными точками будут вершины квадрата.

2. Построить образ правильного шестиугольника при инверсии относительно окружности, если окружность инверсии описана около него.

Р

ешение: пусть нам дан правильный шестиугольник ABCDEF и окружность инверсии S с центром в точке O, описанная около него.

Д ля того, чтобы найти образ всего шестиугольника, надо найти образы его сторон.

1. Найдем образ AB. Так как ВS, АS => они инвариантны. Третьей точкой, определяющей окружность (образ AB) будет точка O. Образом AB будет ⌣АmВ.

2. Аналогично можно построить образы остальных сторон шестиугольника.

3. Получаем искомую фигуру.