Завдання для самостійної роботи

Підготовка до ЛР 3: за зразком сформувати нову цільову функцію загальної рентабельності за умовами ЛР 1 і звести її математичну модель до моделі задачі лінійного програмування.

Тема: Елементи теорії ігор §1. Основні поняття теорії ігор

Теорія ігор - це розділ сучасної математики, в якому вивчаються математичні моделі прийняття рішень в умовах невизначеності, конфліктності, тобто в ситуаціях, коли інтереси сторін (гравців) або протилежні (у випадку антагоністичних ігор), або не збігаються (у випадку ігор з непротилежними інтересами).

Математична теорія ігор веде свій початок від аналізу салонних, карткових, спортивних ігор. Теорія ігор вперше була систематично викладена Нейманом і Моргенштерном та оприлюднена 1944 року в монографії «Теорія ігор і економічної поведінки», хоча окремі результати були надруковані ще в 20-х роках. Автори написали оригінальну книгу, яка містила переважно економічні приклади, оскільки економічні задачі простіше за інші описати за допомогою чисел. Під час другої світової війни теорією ігор серйозно зацікавились військові, які одразу побачили в ній математичний апарат для дослідження стратегічних проблем і підготовки рішень.

Сьогодні сфера застосування теорії ігор значно розширилась. Так, у соціальних науках апарат теорії ігор застосовується у психології для аналізу торгових угод та переговорів, а також для вивчення принципів формування коаліцій, домовленостей між людьми. Знання принципів теорії ігор є надзвичайно важливим, корисним і актуальним для спеціалістів у сфері економіки, біології, політичній, комп'ютерній науках, філософії, маркетингу.

Прийняття управлінських рішень найчастіше пов’язане з ситуаціями, в яких перетинаються інтереси двох ( або більше) конкуруючих сторін, які мають різні цілі, Такі ситуації називають конфліктними. Математичною теорією конфліктних ситуацій є теорія ігор. Розв’язанню задач такого типу передує: визначення правил гри, можливої кількості гравців, можливих виграшів.

Грою називається спрощена формалізована модель реальної конфліктної ситуації з сукупністю правил, які регламентують поведінку гравців.

Хід у грі – це вибір гравцем одного з можливих варіантів дій. Наслідком є рішення гравця під час ходу, значення певної функції виграшу.

Стратегія або дія, до якої вдається гравець, залежить від ситуації. За умов застосування гравцями в процесі гри різних стратегій матимемо гру в мішаних стратегіях, а елементи стратегій називають чистими стратегіями.

Одним з основних видів ігор є матричні ігри – парні ігри з нульовою сумою: виграш одного гравця дорівнює програшу іншого за умови обмеженої кількості стратегій кожного гравця, а спільна сума виграшів дорівнює нулю, наприклад, ігри з природою, коли гравцями є фірма і природа.

Платіжною матрицею гри є прямокутна матриця, елементами якої є числа a_ij, які характеризують виграш – наслідок вибору гравцем А стратегії A_і, а гравцем В – стратегії B_j.

Розв’язати гру означає знайти оптимальну стратегію для кожного гравця, яка за умов багаторазового повторення гри забезпечує максимально можливий середній виграш (мінімально можливий середній програш). Оптимального розв’язку гра досягає за умови, що кожній стороні невигідно змінювати свою стратегію, бо протилежна сторона може теж обрати іншу стратегію, яка погіршить виграш першого гравця.

Критерієм вибору раціональних рішень є критерії мінімакса або максиміна:

• для гравця А оптимальною є стратегія максимізації мінімального виграшу за всіма можливими стратегіями гравця В: А _опт : ;

• для гравця В оптимальною є стратегія мінімізації максимального програшу за всіма можливими стратегіями гравця А: В _опт : ;

де α – мінімально можливий виграш гравця А – нижня ціна гри;

β–максимально можливий програш гравця В – верхня ціна гри.

Якщо α = β, то гра має сідлову точку, а значення ν = α = β є ціною гри. При цьому сторони обирають чисті стратегії : максимінна для гравця А і мінімаксна для гравця В.

Якщо α ≠ β, то ціна гри дорівнює математичному сподіванню виграшу першого гравця за умов вибору гравцями оптимальних стратегій: V = M( S^*; Θ^*), де S^*; Θ ^* – оптимальні стратегії першого і другого гравця, M(S;Θ) – математичне сподівання середнього виграшу першого гравця за умов вибору гравцями стратегій S та Θ:

M ( S; Θ ^*) ≤ V ≤ M( S^*; Θ),

В цьому випадку гра не має сідлової точки, чисті стратегії – неоптимальні: можна покращити стан кожного гравця, обравши мішані стратегії – певні комбінації початкових чистих стратегій з певними частотами ( ймовірностями) вибору кожної з них:

для гравця А: P = ( p_1, p_2,…, p_m), ;

для гравця B: Q = ( q_1, q_2,…, q_n), .

Оптимальні значення визначають умову існування очікуваного оптимального значення ціни гри .