4.3. Уравнения подвижной центроиды

Уравнение (3.14.16)

(3.14.16)

задает положение МЦС относительно подвижного полюса в векторной форме. В этом уравнении .

Проектируя его на подвижные оси, получим выражения для координат МЦС в подвижном пространстве в зависимости от времени .

Построенные таким способом выражения будут задавать в параметрической форме уравнения подвижной центроиды. В них время выступает как переменный параметр.

Итак, умножая (3.14.16) скалярно на и на , получим

,

.

Если учесть, что проекции скорости полюса подвижной системы на оси ,  выражаются через угол и проекции вектора на абсолютные оси по формулам

, ,

то окончательно получим параметрическое уравнение подвижной центроиды:

,

.

Здесь , , — функции, определяемые из уравнений движения плоской фигуры.

4.4. Уравнения неподвижной центроиды

Для вывода уравнений неподвижной центроиды запишем векторное соотношение, связывающее положение МЦС относительно полюса абсолютной системы координат с его положением относительно подвижного полюса :

,

где — положение полюса подвижной системы координат относительно неподвижного полюса . Из него, учитывая (3.14.16):

, (3.14.16)

находим

. (3.14.17)

Обозначим — координаты МЦС в абсолютной системе.

Умножим (3.14.17) скалярно на орты и . Получим уравнения неподвижной центроиды, записанные в параметрической форме:

,

.

Здесь , , , , — функции, определяемые из уравнений движения плоской фигуры. Время  играет роль внутреннего параметра кривой.

Справедлива следующая теорема Пуансо, которую приведем здесь без доказательства.

Теорема 2 (Пуансо)

Подвижная и неподвижная центроиды в любой момент времени касаются друг друга в точке, совпадающей в этот момент времени с мгновенным центром скоростей.

Подвижная центроида при изменении катится по неподвижной центроиде без проскальзывания.

5º. Геометрические способы построения мцс

5.1. Построение мцс по скорости одной точки и по угловой скорости .

Пусть известна угловая скорость плоской фигуры и скорость одной из ее точек в некоторый момент времени. Точку обозначим , а ее скорость . Покажем, как построить МЦС в такой ситуации.

По формуле (3.14.16) (принимая за точку ) можем записать

,

где .

Отсюда следует:

1. вектор ортогонален ;

2. — расстояние от точки до МЦС;

3. если , то тройка векторов — правая; если , то эта тройка векторов — левая.

Рис.3.14.4

Из данных свойств получаем следующие правила построения МЦС (см. рис. 3.14.4):

1. через начало вектора (через точку ) проводим прямую, ортогональную скорости ;

2. вычисляем ;

3. если , то поворачиваем вектор скорости вокруг точки на угол против часовой стрелки, и вдоль построенной прямой откладываем от точки отрезок длиной в направлении повернутого вектора .

В результате такого построения получаем точку , совпадающую с концом отложенного отрезка. Эта точка является искомым МЦС.

4. Если , то поворот вектора скорости вокруг точки  на угол делаем по часовой стрелке, и строим МЦС по правилу, указанному во второй части пункта 3), а именно:

вдоль построенной прямой откладываем от точки отрезок длиной в направлении повернутого вектора .

Искомый МЦС, как и в ситуации , будет совпадать с концом отложенного отрезка.