2. Свойство антисимметрии:

при перестановке любых 2-х строк (равно и любых двух столбцов) изменяется знак определителя.

3. Основное свойство:

4. Линейное свойство:

ТЕОРЕМА 2. Для квадратных матриц выполняется соотношение:

Доказательство. Пусть матрицы и порядка . Рассмотрим две блочные матрицы и порядка , составленные из матриц и :

и

Вычислим , разложив его по первым строкам

.

Вычислим , разложив его по последним строкам

Далее, используя метод элементарных преобразований, можно доказать, что .

Задание. Доказательство проведите самостоятельно.

Замечание: Если матрицы и прямоугольные, но их произведение является квадратной матрицей, то вычисляется по формуле Бине.

Обратная матрица. Рассмотрим квадратную матрицу порядка .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица называется правой обратной для матрицы , если , а матрица называется левой обратной для матрицы , если .

Докажем, что правая и левая обратные матрицы равны между собой, :

Введем обозначение обратной матрицы: :

.

Свойство: .

Доказательство: Очевидно, что . Запишем следующие очевидные соотношения

Сравнив соотношения, мы получим доказательство это свойство.

Вопрос: А существует ли обратная матрица?

Ответ: Обратная матрица существует только для квадратных матриц, у которых определитель не равен нулю, см. ниже Теорему 3. Следовательно, у всех остальных матриц обратной матрицы не существует.

ТЕОРЕМА 3. О существовании обратной матрице. Для того чтобы у матрицы существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость. Рассмотрим квадратную матрицу .

Пусть обратная матрица существует. Тогда выполняется .

Согласно Теореме 2., имеем .

Следовательно , причем .

Достаточность. Пусть Построим матрицу , используя для этого алгебраические дополнения матрицы и условие :

Вычислим .

Здесь мы использовали основное свойство определителей.

Теорема доказана.

ЛЕКЦИЯ 3

Линейная зависимость строк матрицы (столбцов). Теорема о линейной зависимости. Ранг матрицы и его свойства. Теорема о базисном миноре.

“Утверждать, что социальный прогресс производит нравственность, все равно, что утверждать, что постройка печей производит тепло” Л.Н.Толстой

Линейная зависимость строк матрицы (столбцов).

Рассмотрим строки некоторой прямоугольной матрицы порядка :

…………………………………

Матрицу можно записать в виде одного столбца. В этом случае элементы этого столбца будут представлять собой строки, записанные выше:

Над строками матрицы выполним следующие действия. Возьмем несколько строк матрицы и составим из них алгебраическое выражение вида

, (1)

где произвольный набор вещественных чисел. Дадим следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида называется линейной комбинацией строк , а вещественные числа - коэффициентами линейной комбинации.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такую линейную комбинацию называют тривиальной, если среди коэффициентов есть ненулевые – то нетривиальной.

Набор строк будем называть системой строк.

Теперь мы можем сформулировать важнейшее в линейной алгебре определение линейной зависимости системы строк.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система строк называется линейно зависимой, если линейная комбинация этих строк, равная нулевой строке,

является нетривиальной, т.е. среди чисел найдутся не равные нулю, и называется линейно-независимой, если их линейная комбинация является тривиальной, т.е. когда все числа .

Поясним это определение.

Во-первых. Система строк (или просто строки) линейно-независимы, если равенство

выполняется, только тогда, когда все числа .

Во-вторых. Система строк линейно-зависима, если равенство

выполняется, когда среди имеются числа, не равные нулю. Для этого достаточно, чтобы один из коэффициентов был ненулевым.

В такой интерпретации мы и будем использовать понятия линейной зависимости и линейной независимости в дальнейшем.

Докажем теорему, важнейшую в линейной алгебре.

ТЕОРЕМА 4. О линейной зависимости. Для того, чтобы система строк была линейно-зависимой необходимо и достаточно, чтобы одна из строк являлась линейной комбинацией остальных строк.

Доказательство.

Необходимость. Пусть строки линейно- зависимы. Тогда, согласно определению, нулевая линейная комбинация этих строк

является нетривиальной и пусть (так можно выбрать). Преобразуя это выражение, получим

.

Следовательно, строка является линейной комбинацией остальных.

Достаточность. Пусть строка является линейной комбинацией остальных строк

. (2)

Тогда, преобразуя (2), получаем нулевую линейную комбинацию

Так как , то согласно определению, это означает, что система строк нетривиальна, т.е. линейно -зависима.

Доказательство завершено.

Ранг матрицы.

Одним из важнейших количественных характеристик матрицы является понятие Ранга матрицы. Ранг матрицы равен некоторому натуральному числу.

Дадим два определения ранга матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Ранг матрицы равен числу линейно -независимых строк матрицы (и столбцов).

Замечание. Число линейно-независимых строк и столбцов данной матрицы одинаково.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Ранг матрицы равен порядку минора без черты, не равного нулю, причем все миноры без черты порядка равны нулю.

Итак, если ранг матрицы равен числу , то в этой матрице

1. существует минор ,

2. все миноры ,

где минор без черты порядка .

Обозначение ранга матрицы:

По определению ранг нулевой матрицы равен нулю, . Это очевидно, так как у нулевой матрице все элементы равны нулю и все миноры без черты равны нулю.

Пусть матрица порядка , тогда ранг матрицы удовлетворяет следующему неравенству

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть . Тогда тот минор порядка , который не равен нулю , называется базисным минором. Строки и столбцы базисного минора называются базисными строками и столбцами.

Существуют два метода вычисления ранга матрицы:

1. Метод окаймляющих миноров;

2. Метод элементарных преобразований;

С этими методами вы познакомитесь на практических занятиях.

Для ранга произведения матриц выполняется несколько интересных соотношений. Поставим вопрос о том, чему равен .

Ранг произведения квадратных матриц порядка :

1. , если .

2. , если .

3. ( ).

4. .

Задание. Докажите эти соотношения.

Докажем теорему о двух свойствах базисного минора.

ТЕОРЕМА 5. Теорема о базисном миноре.