Свойства ортогонального базиса

Рассмотрим ортогональный базис линейного пространства .

Пусть векторы и разложены по ортогональному базису

Выполняются два свойства.

1. 

2. 

Первое свойство означает, что при вычислении скалярного произведения вектора и базисного вектора мы получаем координату этого вектора.

Второе свойство – скалярное произведение векторов равно сумме, составленной из произведений координат векторов.

Задание. Докажите эти свойства.

Матрица Грама.

Пусть задана система из трех векторов . Рассмотрим матрицу, составленную из скалярных произведений этих векторов

.

Матрица называется матрицей Грама.

Геометрический смысл определителя Грама. Определитель матрицы Грама равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на векторах :

.

В мерном случае определить Грама равен квадрату объема мерного параллелепипеда.

Матрицу Грама можно составить из скалярных произведений векторов некоторого базиса :

Если базис - ортогональный, то матрица Грама единичная:

.

Матрица Грама входит в формулу скалярного произведения векторов

и .

.

И в этом случае матрица Грама совпадает с метрическим тензором.