3. Порядок синтезу рцф по аналоговому прототипу

Можливі два методи проектування ЦФ по аналоговому прототипу.

а) б)

Рис. 2.4. Процедури розрахунку цифрових фільтрів

У першому методі розрахунок аналогового фільтру-прототипу (АФП) розпочинається зі знаходження відповідного аналогового фільтру-прототипу низьких частот (АФПНЧ). Надалі використовується відповідне аналогове частотне перетворення для переведення цього прототипу низьких частот в необхідний АФП. Нарешті, на основі процедури відображення цей аналоговий фільтр перетвориться у бажаний цифровий БІХ-фільтр (фільтр з безкінечною імпульсною характеристикою), який задовольняє пред'явленим вимогам. Повністю ця процедура розрахунку показана на рис. 2.4, а.

Метод білінійного перетворення (через нелінійне співвідношення між цифровою частотою  і аналоговою частотою ) дає задовільні результати тільки для тих частотних характеристик аналогового фільтру, які є ступінчато-подібною функцією. Це означає, що процедура відображення (рис. 2.4,а) не забезпечує задовільних методів розрахунку загороджуючих фільтрів верхніх частот і деяких типів смугових фільтрів.

Для усунення цих недоліків використовується інший підхід до розрахунку цифрових БІХ-фільтрів. Такий спосіб зображений на рис. 2.4,б. В цьому випадку процедура відображення завжди виконується над нормованим цифровим прототипом низьких частот. Цей підхід полягає в знаходженні відповідного нормованого аналогового фільтру-прототипу низьких частот. Аналоговий прототип відображається в цифровий фільтр-прототип низьких частот (ЦФПНЧ). Нарешті, використовується цифрове частотне перетворення для переходу від цифрового прототипу низьких частот до остаточного варіанту, тобто цифровому фільтру з відповідними характеристиками в смузі пропускання і смузі затримання і задовольняє пред'явленим вимогам.

4. Синтез аналогового фнч-прототипу (афпнч)

Синтез АФПНЧ включає вибір апроксимуючої функції, визначення порядку фільтру m, значень нулів s_0i і полюсів s_pi і передатної функції по заданих граничних частотах _зр = 1, _з і допускам на похибки апроксимації ₁, δ₂ (A_п, A_з).

Нулі і полюси синтезованого АФПНЧ повністю визначають його передатну функцію H(s) :

(2.5)

де С – нормуючий множник; m1 – число кінцевих нулів (m1 < m).

Слід зазначити, що полюси АФПНЧ є дійсними або комплексно-спряженими числами (зі знаком мінус перед реальною частиною), а кінцеві нулі чисто уявними.

Синтез АФПНЧ полягає в апроксимації його заданою ЧХ, що ідеалізується, за допомогою відповідних апроксимуючих функцій.

Як апроксимуючі функції використовуються поліноми і дроби. До поліноміальних відносяться апроксимації Тейлора (фільтри Баттерворта), Чебишева, до дробових - Кауера-Золоторьова (еліптичні фільтри), Чебишева інверсна.

Передатні функції фільтрів з поліноміальною апроксимацією не мають кінцевих нулів, їх частотні характеристики монотонні в смузі затримання.

У фільтрів з дробовою апроксимацією передатні функції мають нулі на кінцевих частотах в смузі затримання, а частотні характеристики – пульсації (у тому числі рівнохвильові) в цій смузі. Фільтри Чебишева і еліптичні мають рівнохвилеві пульсації і в смузі пропускання.

Типові графіки частотних характеристик нормалізованого АФПНЧ з поліноміальною і дробовою апроксимаціями приведені на рис. 2.5.

Для частотних характеристик з рівнохвильовими пульсаціями на графіках вказані відповідають ним частоти нулів і полюсів _pi, _0i СФ.

Фільтри з дробовою апроксимацією забезпечують кращі характеристики загасання при однаковому порядку фільтру або менше значення порядку при заданому згасанні частотної характеристики.

Рис. 2.4. Графіки частотних характеристик нормалізованого АФПНЧ, що відповідають різним апроксимуючим функціям

Фільтр Баттерворта.

Апроксимація АФПНЧ Баттерворта має вигляд

(2.6)

де С - константа нормування.

На практиці порядок фільтру Баттерворта визначається по заданому послабленню АЗ на деякій частоті _З..

(2.7)

Якщо фільтр має парний порядок n, то зручно представляти передатну функцію фільтру у вигляді твору біквадратних ланок

, .

Фільтр Чебишева 1.

Апроксимація АФПНЧ Чебишева 1 при порядку фільтру n має вигляд

(2.8)

де , , , , , ,  - пульсації в смузі пропускання.

На практиці порядок фільтру Чебишева 1 визначається по заданому послабленню А_З на деякій частоті _З і пульсації в смузі пропускання (.

, .

(2.9)

Якщо фільтр має парний порядок n, то зручно представляти передатну функцію фільтру у вигляді твору біквадратних ланок

.

Фільтр Чебишева 2 (інверсний).

Апроксимація АФПНЧ Чебишева 2 (інверсна) має вигляд

(2.10)

де - полюси, - нулі.

, , , , , , .

На практиці порядок фільтру Чебишева 2 також визначається по заданому послабленню А_З на деякій частоті _З і пульсації в смузі пропускання (вираз 2.9).

Якщо фільтр має парний порядок n, то зручно представляти передатну функцію фільтру у вигляді твору біквадратних ланок

.