§ 2.1. Напруження в кільці
Проведемо
дослідження пружної рівноваги кільцевої
пластинки
,
межі якої рівномірно навантажені або
жорстко закріплені (рис.2.1). Задача теорії
пружності в даному випадку буде
осесиметричною, що відповідно значно
спрощує процес її розв’язування.
Рис. 2.1. Схема навантаження кільцевої пластинки
Основні рівняння теорії пружності для кільця. Визначальні рівняння запишемо на основі рівнянь рівноваги, сумісності деформацій та закону Гука.
Рівняння рівноваги для кільця має вигляд [6]
, (2.1)
де
і
– радіальні та кільцеві напруження,
причому
.
Деформації визначаються за формулами
, (2.2)
де u – радіальні переміщенння.
Зв’язок між напруженнями та деформаціями при пружньому деформуванні на основі закону Гука запишеться
(2.3)
Рівняння (2.3) з врахуванням (2.2) запишуться
.
(2.4)
Підставиши
друге рівняння в перше рівняння та в
рівняння рівноваги, отримаємо систему
рівнянь відносно невідомих
(2.5)
Система
рівнянь (2.5) справедлива при сталих і
залежних від координати r
пружних
характеристиках
.
Для запису граничних умов розглянемо випадки, які часто виникають на практиці.
а)
Нехай до внутрішньої та зовнішньої
границь пластинки прикладено відповідно
зусилля
. Тоді граничні умови мають вигляд
. (2.6)
б)
Нехай внутрішня границя жорстко
закріплена, а до зовнішньої границі
пластинки прикладено зусилля
. Тоді граничні умови будуть
. (2.7)
Розв’язування задачі при сталих пружних характеристиках. Можна перевірити, що загальний розв’язок системи (2.5) при сталих пружних характеристиках буде
,
(2.8)
де А і В – довільні сталі.
Розглянемо спочатку випадок граничної умови (2.6). Підставляючи вирази (2.8) в умови (2.6), отримуємо систему алгебраїчних рівнянь відносно невідомих А, В
де
.
Звідси знаходимо
.
Таким чином знаходимо
(2.9)
Кільцеві
напруження
на основі рівняння (2.1)
. (2.10)
Розглянемо умову (2.7). Для визначення сталих із цієї умови отримуємо систему рівнянь
Звідси знаходимо
де
. (2.11)
Задача
термопружності.
Розглянемо
випадок, коли пластинка нерівномірно
нагріта і її температура відома та
дорівнює
.
Використовуючи відомі співвідношення
для деформацій, замість співвідношень
(2.4) отримуємо рівняння
З
другого рівняння маємо
Аналогічно, як і вище отримуємо систему рівнянь
(2.12)
§ 2.2. Товстостінна труба
Розглянемо трубу , яка перебуває під дією прикладених до межі зусиль.
Рис.2.2. Товстостінна труба
Рівняння рівноваги в цьому випадку буде
. (2.13)
Деформації визначаються за формулами
,
(2.14)
де u – радіальні переміщенння, с – стала, яка характеризує відносну деформацію труби в напрямку осі Оz.
Зв’язок між напруженнями та деформаціями при пружньому деформуванні на основі закону Гука запишеться
.
(2.15)
Враховуючи формули (2.14), звідси маємо
.
Виразимо всі величини через дві невідомі функції . Із системи
(2.16)
знаходимо
,
.
Тоді система рівнянь запишеться
(2.17)
При сталих пружних характеристиках загальний розв’язок системи має вигляд
,
де
– довільні пружні сталі.
При
заданих на границях
і
зусиллях
радіальні напруження
визначаються за тими ж формулами, що
наведені вище вирази для кільця. За
формулами для кільця будуть визначатись
і напруження
,
що випливає іх рівняння рівноваги.
Стала с=0 у випадку, коли довжина труби не збінюється при деформуванні. Для визначення сталої с у випадку, коли відома величина сили Р, що розтягує циліндр, використовують інтегральну умову
.
Звідси отримуємо в загальному випадку змінних механічних характеристик умову
.